Номер 8.40, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.40. Докажите, что функция

$y = \begin{cases} x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+1} & \text{при } x < 0 \text{ и } x \neq -1; \\ x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1-x} & \text{при } x > 0 \text{ и } x \neq 1 \end{cases}$ — чётная.

Для того чтобы доказать, что функция является чётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $y(-x) = y(x)$.

Проверим оба условия для заданной функции.

1. Анализ области определения

Область определения $D(y)$ данной функции задана условиями: $x < 0, x \neq -1$ и $x > 0, x \neq 1$. Объединив эти условия, получаем, что область определения состоит из всех действительных чисел, кроме $-1$, $0$ и $1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$.

Данная область определения симметрична относительно нуля. Если некоторое число $x_0$ принадлежит $D(y)$, то $x_0 \neq 0$, $x_0 \neq 1$ и $x_0 \neq -1$. Следовательно, и противоположное ему число $-x_0$ также не равно $0$, $-1$ и $1$, а значит $-x_0 \in D(y)$. Первое условие чётности выполняется.

2. Проверка тождества $y(-x) = y(x)$

Рассмотрим два случая для $x \in D(y)$.

Случай А: $x > 0$ и $x \neq 1$.

В этом случае, согласно определению функции, имеем:

$y(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1 - x}$

Теперь найдём значение $y(-x)$. Поскольку $x > 0$, то $-x < 0$. И так как $x \neq 1$, то $-x \neq -1$. Следовательно, для аргумента $-x$ нужно использовать первую формулу из определения функции:

$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \frac{17}{(-x) + 1}$

Упростим полученное выражение:

$y(-x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1 - x}$

Сравнивая выражения для $y(x)$ и $y(-x)$, видим, что они равны: $y(x) = y(-x)$.

Случай Б: $x < 0$ и $x \neq -1$.

В этом случае функция задаётся первой формулой:

$y(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x + 1}$

Найдём значение $y(-x)$. Поскольку $x < 0$, то $-x > 0$. И так как $x \neq -1$, то $-x \neq 1$. Следовательно, для аргумента $-x$ нужно использовать вторую формулу:

$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \frac{17}{1 - (-x)}$

Упростим это выражение:

$y(-x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1 + x}$

Сравнивая выражения для $y(x)$ и $y(-x)$, снова видим, что они равны: $y(x) = y(-x)$.

Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, и область определения симметрична. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной, что и требовалось доказать.