Номер 8.47, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.47. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. Нечётная функция $y = g(x)$ определена на всей числовой прямой, причём $f(x) = g(x)$ при $x \ge 0$. Вычислите $h(-2)$, где $h(x) = f(x) + g(x)$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$. Чётная функция $y = g(x)$ определена на всей числовой прямой, причём $f(x) = g(x)$ при $x \le 0$. Вычислите $h(1)$, где $h(x) = \frac{2f(x) - g(x)}{f(x) + g(x)}$.

а)

Нам необходимо вычислить значение функции $h(x) = f(x) + g(x)$ при $x = -2$.
$h(-2) = f(-2) + g(-2)$.

1. Вычислим значение $f(-2)$.
Дана функция $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. Подставим $x = -2$ в это выражение:
$f(-2) = 2(-2)^2 - 5(-2) + 3 = 2 \cdot 4 + 10 + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$.

2. Вычислим значение $g(-2)$.
Из условия известно, что функция $g(x)$ является нечётной. Это означает, что для любого $x$ выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$.
Следовательно, $g(-2) = -g(2)$.

Чтобы найти $g(2)$, воспользуемся другим условием: $f(x) = g(x)$ при $x \ge 0$.
Поскольку $2 \ge 0$, мы можем утверждать, что $g(2) = f(2)$.
Вычислим $f(2)$:
$f(2) = 2(2)^2 - 5(2) + 3 = 2 \cdot 4 - 10 + 3 = 8 - 10 + 3 = 1$.

Таким образом, $g(2) = 1$, а значит $g(-2) = -g(2) = -1$.

3. Вычислим $h(-2)$.
Теперь, когда у нас есть значения $f(-2)$ и $g(-2)$, мы можем найти $h(-2)$:
$h(-2) = f(-2) + g(-2) = 21 + (-1) = 20$.

Ответ: 20

б)

Нам необходимо вычислить значение функции $h(x) = \frac{2f(x) - g(x)}{f(x) + g(x)}$ при $x = 1$.
$h(1) = \frac{2f(1) - g(1)}{f(1) + g(1)}$.

1. Вычислим значение $f(1)$.
Дана функция $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$. Подставим $x = 1$ в это выражение:
$f(1) = \frac{5(1) + 1}{1^2 + 1} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Вычислим значение $g(1)$.
Из условия известно, что функция $g(x)$ является чётной. Это означает, что для любого $x$ выполняется равенство $g(-x) = g(x)$.
Следовательно, $g(1) = g(-1)$.

Чтобы найти $g(-1)$, воспользуемся другим условием: $f(x) = g(x)$ при $x \le 0$.
Поскольку $-1 \le 0$, мы можем утверждать, что $g(-1) = f(-1)$.
Вычислим $f(-1)$:
$f(-1) = \frac{5(-1) + 1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-5 + 1}{1 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$.

Таким образом, $g(-1) = -2$, а значит $g(1) = g(-1) = -2$.

3. Вычислим $h(1)$.
Теперь у нас есть значения $f(1) = 3$ и $g(1) = -2$. Подставим их в формулу для $h(1)$:
$h(1) = \frac{2f(1) - g(1)}{f(1) + g(1)} = \frac{2 \cdot 3 - (-2)}{3 + (-2)} = \frac{6 + 2}{3 - 2} = \frac{8}{1} = 8$.

Ответ: 8