Номер 8.45, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.45. Пусть график чётной функции пересекает ось абсцисс в 333 точках. Найдите сумму и произведение абсцисс этих точек.

Пусть $f(x)$ — данная чётная функция. По определению, чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Точки пересечения графика функции с осью абсцисс — это корни уравнения $f(x) = 0$. Пусть $x_0$ является корнем этого уравнения, то есть $f(x_0) = 0$.

Из свойства чётности следует, что $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. Это означает, что если $x_0$ — корень функции, то и $-x_0$ также является её корнем.

Таким образом, все ненулевые корни чётной функции образуют пары противоположных по знаку чисел $(x_k, -x_k)$.

По условию, функция имеет 333 корня. Число 333 — нечётное. Поскольку все ненулевые корни идут парами, их общее количество должно быть чётным. Нечётное общее число корней возможно только в том случае, если один из корней не имеет пары. Единственное число, для которого $x = -x$, — это $x = 0$. Следовательно, один из корней обязательно равен нулю.

Итак, множество всех абсцисс точек пересечения (корней) состоит из нуля и $333 - 1 = 332$ ненулевых корней. Эти 332 корня разбиваются на $332 / 2 = 166$ пар вида $(a_k, -a_k)$, где $a_k \neq 0$.

Обозначим все 333 корня как $x_1, x_2, \ldots, x_{333}$. Их можно представить в виде множества: $\{0, a_1, -a_1, a_2, -a_2, \ldots, a_{166}, -a_{166}\}$.

Сумма абсцисс

Найдём сумму всех этих корней (абсцисс точек пересечения):
$S = x_1 + x_2 + \dots + x_{333}$
$S = 0 + (a_1 + (-a_1)) + (a_2 + (-a_2)) + \ldots + (a_{166} + (-a_{166}))$
В каждой скобке сумма равна нулю. $S = 0 + 0 + 0 + \ldots + 0 = 0$.

Ответ: 0

Произведение абсцисс

Найдём произведение всех этих корней:
$P = x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_{333}$
$P = 0 \cdot a_1 \cdot (-a_1) \cdot a_2 \cdot (-a_2) \cdot \ldots \cdot a_{166} \cdot (-a_{166})$

Поскольку один из множителей равен нулю, всё произведение также равно нулю.
$P = 0$.

Ответ: 0