Номер 8.42, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.42. Найдите такое выражение для функции h(x), чтобы функция$y = \begin{cases} x^2 - \sqrt{3 - x} & \text{при } x < 0; \\ h(x) & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$была чётной.

По определению, функция $y(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$. Кроме того, область определения чётной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

Область определения данной функции $y(x)$ состоит из двух частей: $x < 0$ и $x \ge 0$. Вместе они образуют всю числовую ось $(-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно $x=0$.

Для того чтобы функция $y(x)$ была чётной, должно выполняться условие $y(x) = y(-x)$ для всех $x$. Нам нужно найти выражение для $h(x)$, которое определено при $x \ge 0$.

Рассмотрим произвольное значение $x > 0$. В этом случае $-x < 0$. Согласно условию задачи:

• При $x > 0$ значение функции равно $y(x) = h(x)$.
• При $-x < 0$ значение функции вычисляется по первой формуле: $y(-x) = (-x)^2 - \sqrt{3 - (-x)}$.

Упростим выражение для $y(-x)$:$y(-x) = (-x)^2 - \sqrt{3 - (-x)} = x^2 - \sqrt{3 + x}$.

Из условия чётности $y(x) = y(-x)$ следует, что при $x > 0$:$h(x) = x^2 - \sqrt{3 + x}$.

Теперь рассмотрим случай $x = 0$. При $x = 0$ функция равна $y(0) = h(0)$. Условие чётности $y(0) = y(-0)$ выполняется тривиально. Чтобы функция была "хорошо" определена, естественно потребовать, чтобы найденное нами выражение для $h(x)$ было верно и при $x=0$. Подставим $x=0$ в полученную формулу:$h(0) = 0^2 - \sqrt{3 + 0} = -\sqrt{3}$.Это значение обеспечивает непрерывность функции в точке $x=0$, так как предел слева также равен $-\sqrt{3}$:$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 - \sqrt{3-x}) = 0^2 - \sqrt{3-0} = -\sqrt{3}$.

Таким образом, искомое выражение для функции $h(x)$ при $x \ge 0$ имеет вид:$h(x) = x^2 - \sqrt{3 + x}$.

Ответ: $h(x) = x^2 - \sqrt{3+x}$.