Номер 8.36, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.36. Определите, какие из функций, графики которых приведены на рис. 24—29, являются чётными, нечётными или функциями общего вида.

Рис. 24 Функция общего вида.

Рис. 25 Нечётная функция.

Рис. 26 Функция общего вида.

Рис. 27 Чётная функция.

Рис. 28 Нечётная функция.

Рис. 29 Функция общего вида.

Для определения типа функции по её графику необходимо проверить его на наличие симметрии. Вспомним определения:

• Чётная функция: её график симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Для любой точки $(x, y)$ на графике точка $(-x, y)$ также лежит на графике. Формально, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Нечётная функция: её график симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$). Для любой точки $(x, y)$ на графике точка $(-x, -y)$ также лежит на графике. Формально, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
• Функция общего вида: это функция, которая не является ни чётной, ни нечётной. Её график не обладает ни симметрией относительно оси $y$, ни симметрией относительно начала координат.

Проанализируем каждый из представленных графиков.

Рис. 24

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$ (проверка на чётность). Возьмём на графике точку с абсциссой $x = 2$. Её ордината примерно равна $3$. Теперь посмотрим на значение функции при $x = -2$. Оно примерно равно $-1$. Так как $f(2) \neq f(-2)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат (проверка на нечётность). Для точки $(2, 3)$ симметричной относительно начала координат является точка $(-2, -3)$. Однако на графике при $x = -2$ значение функции равно $y \approx -1$. Так как $f(-2) \neq -f(2)$, функция не является нечётной.
Поскольку у графика нет ни одного из видов симметрии, это функция общего вида.

Ответ: функция общего вида.

Рис. 25

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$. Возьмём точку с абсциссой $x = 4$, её ордината $y \approx 2.5$. Для $x = -4$ ордината $y \approx -2.5$. Так как $f(4) \neq f(-4)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки $(4, 2.5)$ симметричной является точка $(-4, -2.5)$. Видно, что эта точка лежит на графике. Проверим другую пару точек: для $x = 2$, $y \approx 1.5$, а для $x = -2$, $y \approx -1.5$. Таким образом, выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.
Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

Рис. 26

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$. Возьмём на графике точку с абсциссой $x = 2$, её ордината $y = -2$. Для $x = -2$ ордината также равна $y = -2$. Возьмём другую пару: при $x=4$, $y=-1$ и при $x=-4$, $y=-1$. График симметричен относительно оси $y$. Выполняется условие $f(-x) = f(x)$.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки $(2, -2)$ симметричной является точка $(-2, 2)$. На графике же при $x = -2$ значение $y=-2$. Условие нечётности не выполняется.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

Рис. 27

График является параболой, вершина которой находится на оси $y$ в точке $(0, 2)$. Парабола, ось симметрии которой совпадает с осью ординат, является графиком чётной функции. Мы видим, что для любого значения $x$ и противоположного ему $-x$ значения функции одинаковы. Например, $f(1) = f(-1) \approx 1$. Таким образом, выполняется условие $f(-x) = f(x)$.

Ответ: чётная функция.

Рис. 28

График является прямой линией, которая не проходит через начало координат и не параллельна оси $x$.
1. Симметрия относительно оси $y$. Возьмём точку $x = 2$, $y \approx -2$. Для $x = -2$, $y = 0$. Так как $f(2) \neq f(-2)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки $(2, -2)$ симметричной является точка $(-2, 2)$. На графике при $x = -2$ значение $y=0$. Так как $f(-2) \neq -f(2)$, функция не является нечётной.
Следовательно, это функция общего вида.

Ответ: функция общего вида.

Рис. 29

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$. Локальный максимум функции достигается при $x \approx -1$ и равен $y \approx 3$. Локальный минимум достигается при $x \approx 1$ и равен $y \approx -3$. Так как $f(-1) \neq f(1)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки локального максимума $(-1, 3)$ симметричной является точка $(1, -3)$, которая является точкой локального минимума и лежит на графике. Проверим другую пару точек: при $x=-2$, $y \approx -2$. Симметричная точка $(2, 2)$ также лежит на графике. График проходит через начало координат $O(0,0)$. Таким образом, выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.
Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.