Номер 8.23, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.23. Докажите: если функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$, имеет на нём наибольшее и наименьшее значения, а отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$, то:

а) $y_{\text{наиб}}$ на $[a; b]$ не меньше $y_{\text{наиб}}$ на $[a_1; b_1]$;б) $y_{\text{наим}}$ на $[a; b]$ не больше $y_{\text{наим}}$ на $[a_1; b_1]$.

а) Пусть $M = y_{\text{наиб}}$ на $[a; b]$ и $M_1 = y_{\text{наиб}}$ на $[a_1; b_1]$. По определению, $M_1$ — это значение функции в некоторой точке $x_1 \in [a_1; b_1]$, то есть $M_1 = f(x_1)$. Поскольку по условию отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$ (то есть, $[a_1; b_1] \subseteq [a; b]$), то точка $x_1$ также принадлежит отрезку $[a; b]$. По определению $M$ как наибольшего значения на отрезке $[a; b]$, для любой точки $x \in [a; b]$ выполняется неравенство $f(x) \le M$. В частности, это верно и для точки $x_1$. Таким образом, $f(x_1) \le M$. Подставляя $f(x_1) = M_1$, получаем $M_1 \le M$, что и требовалось доказать.

Ответ: $y_{\text{наиб}} \text{ на } [a; b] \ge y_{\text{наиб}} \text{ на } [a_1; b_1]$.

б) Пусть $m = y_{\text{наим}}$ на $[a; b]$ и $m_1 = y_{\text{наим}}$ на $[a_1; b_1]$. По определению, $m_1$ — это значение функции в некоторой точке $x_2 \in [a_1; b_1]$, то есть $m_1 = f(x_2)$. Поскольку по условию отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$ (то есть, $[a_1; b_1] \subseteq [a; b]$), то точка $x_2$ также принадлежит отрезку $[a; b]$. По определению $m$ как наименьшего значения на отрезке $[a; b]$, для любой точки $x \in [a; b]$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$. В частности, это верно и для точки $x_2$. Таким образом, $f(x_2) \ge m$. Подставляя $f(x_2) = m_1$, получаем $m_1 \ge m$, что и требовалось доказать.

Ответ: $y_{\text{наим}} \text{ на } [a; b] \le y_{\text{наим}} \text{ на } [a_1; b_1]$.