Номер 8.18, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.18. a) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 5} = 23 - 2x$;

б) $\frac{5}{x + 1} = 8\sqrt{x}$;

в) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 3} = 43 - 6x - x^2$;

г) $(x^2 + 4x + 9)\sqrt{4x + 1} = 9$.

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt{x-5} = 23 - 2x$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а также левая часть (сумма корней) неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной.
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \\ 23 - 2x \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 5 \\ 2x \le 23 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 11.5 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $x \in [5; 11.5]$.
Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения.
Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x-5}$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, $f(x)$ — строго возрастающая функция на всей своей области определения.
Функция $g(x) = 23 - 2x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, $g(x)$ — убывающая функция.
Уравнение, в котором возрастающая функция равна убывающей, может иметь не более одного решения.
Попробуем найти корень методом подбора, учитывая ОДЗ. Выберем целое значение, например, $x=9$.
Подставим $x=9$ в исходное уравнение:
$\sqrt{9} + \sqrt{9-5} = 23 - 2 \cdot 9$
$3 + \sqrt{4} = 23 - 18$
$3 + 2 = 5$
$5 = 5$
Равенство верное, значит $x=9$ является корнем уравнения. Поскольку решение единственное, это и есть ответ.
Ответ: 9

б) Исходное уравнение: $\frac{5}{x+1} = 8\sqrt{x}$.
ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за корня) и $x+1 \ne 0$, т.е. $x \ne -1$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
При $x \ge 0$ правая часть $8\sqrt{x} \ge 0$, левая часть $\frac{5}{x+1} > 0$. Знаки совпадают.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$. Условие $x \ge 0$ означает $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$\frac{5}{t^2+1} = 8t$
$5 = 8t(t^2+1)$
$5 = 8t^3 + 8t$
$8t^3 + 8t - 5 = 0$
Это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональный корень. Проверим $t = 1/2$:
$8 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 8 \cdot (\frac{1}{2}) - 5 = 8 \cdot \frac{1}{8} + 4 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.
Корень $t=1/2$ найден. Разделим многочлен $8t^3 + 8t - 5$ на $(2t-1)$:
$(2t-1)(4t^2 + 2t + 5) = 0$.
Рассмотрим квадратное уравнение $4t^2 + 2t + 5 = 0$. Его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 4 - 80 = -76 < 0$. Действительных корней нет.
Следовательно, единственное действительное решение для $t$ это $t=1/2$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt{x} = t = 1/2$
$x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = 43 - 6x - x^2$.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \\ 43 - 6x - x^2 \ge 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств следует $x \ge 3$.
Решим третье неравенство: $x^2 + 6x - 43 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 43 = 0$:
$D = 6^2 - 4(1)(-43) = 36 + 172 = 208 = 16 \cdot 13$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{208}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{13}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{13}$.
Неравенство выполняется при $x \in [-3 - 2\sqrt{13}; -3 + 2\sqrt{13}]$.
Приближенно $3.6 < \sqrt{13} < 3.7$, поэтому $-3 + 2\sqrt{13} \approx -3 + 2 \cdot 3.6 = 4.2$.
Пересекая с условием $x \ge 3$, получаем ОДЗ: $x \in [3; -3 + 2\sqrt{13}]$.
Левая часть $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x-3}$ является возрастающей функцией на ОДЗ.
Правая часть $g(x) = -x^2 - 6x + 43$ — парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $x = -(-6)/(2(-1)) = -3$. На промежутке $[3, \infty)$, который включает нашу ОДЗ, функция $g(x)$ убывает.
Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем его подбором. В ОДЗ $x \in [3; \approx 4.2]$ есть только одно целое число: $x=4$. Проверим его:
$\sqrt{4} + \sqrt{4-3} = 43 - 6 \cdot 4 - 4^2$
$2 + \sqrt{1} = 43 - 24 - 16$
$3 = 43 - 40$
$3=3$
Равенство верное, значит $x=4$ — единственный корень.
Ответ: 4

г) Исходное уравнение: $(x^2 + 4x + 9)\sqrt{4x+1} = 9$.
ОДЗ: $4x+1 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge -1 \Rightarrow x \ge -1/4$.
Рассмотрим множитель $(x^2 + 4x + 9)$. Это квадратный трехчлен. Его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 < 0$. Так как старший коэффициент (при $x^2$) положителен, этот трехчлен всегда принимает положительные значения.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x^2 + 4x + 9)\sqrt{4x+1}$.
На области определения $x \ge -1/4$:
Множитель $x^2 + 4x + 9 = (x+2)^2 + 5$. Вершина параболы в $x=-2$. На промежутке $[-1/4, \infty)$ эта функция возрастает.
Множитель $\sqrt{4x+1}$ также является возрастающей функцией.
Произведение двух положительных возрастающих функций есть функция возрастающая.
Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на своей ОДЗ, и уравнение $f(x)=9$ может иметь не более одного решения.
Попробуем найти решение подбором. Проверим $x=0$, которое входит в ОДЗ.
$(0^2 + 4 \cdot 0 + 9)\sqrt{4 \cdot 0 + 1} = 9 \cdot \sqrt{1} = 9$.
$9 = 9$.
Равенство верное, следовательно $x=0$ — корень уравнения. Так как он единственный, это и есть ответ.
Ответ: 0