Номер 8.11, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.11. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. Найдите промежутки монотонности функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

а) рис. 18;

б) рис. 19;

в) рис. 20;

г) рис. 21.

Puc. 18

Puc. 19

Puc. 20

Puc. 21

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = \frac{1}{f(x)}$ необходимо проанализировать её производную. Производная сложной функции и частного даёт:$y' = \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{1}{(f(x))^2} \cdot f'(x)$.

Поскольку множитель $(f(x))^2$ всегда положителен в области определения функции $y = \frac{1}{f(x)}$ (то есть там, где $f(x) \neq 0$), знак производной $y'$ противоположен знаку производной $f'(x)$.

Это означает, что:
1. Если функция $f(x)$ возрастает (т.е. $f'(x) > 0$), то функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает (т.е. $y' < 0$).
2. Если функция $f(x)$ убывает (т.е. $f'(x) < 0$), то функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает (т.е. $y' > 0$).
3. Если функция $f(x)$ постоянна (т.е. $f'(x) = 0$), то функция $y = \frac{1}{f(x)}$ также постоянна (т.е. $y' = 0$).
4. В точках, где $f(x) = 0$, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ не определена и имеет вертикальные асимптоты. Эти точки разбивают область определения на несколько интервалов.

a) рис. 18;

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 18.
1. Функция $f(x)$ определена и положительна на всем показанном промежутке (приблизительно $[-3, 3]$). Точек, где $f(x)=0$, нет, поэтому функция $y = \frac{1}{f(x)}$ непрерывна на этом промежутке.
2. Функция $f(x)$ убывает на промежутках $[-3, -2]$ и $[0, 2]$. Следовательно, на этих промежутках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает.
3. Функция $f(x)$ возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, 3]$. Следовательно, на этих промежутках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутках $[-3, -2]$ и $[0, 2]$; убывает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, 3]$.

б) рис. 19;

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 19.
1. Функция $f(x)$ обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=3$. В этих точках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ имеет вертикальные асимптоты.
2. Функция $f(x)$ убывает на промежутках $[-2, -1]$ и $[2, 4]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на этих промежутках. Учитывая точку разрыва $x=3$, получаем промежутки возрастания: $[-2, -1]$, $[2, 3)$ и $(3, 4]$.
3. Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, 2]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на этом промежутке. Учитывая точку разрыва $x=0$, получаем промежутки убывания: $[-1, 0)$ и $(0, 2]$.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутках $[-2, -1]$, $[2, 3)$ и $(3, 4]$; убывает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 2]$.

в) рис. 20;

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 20.
1. Функция $f(x)$ обращается в ноль в точках $x=-1$ и $x=2$. В этих точках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ имеет вертикальные асимптоты.
2. На промежутке $[-3, -2]$ функция $f(x)$ постоянна ($f(x)=2$). Следовательно, на этом промежутке функция $y = \frac{1}{f(x)}$ также постоянна ($y=\frac{1}{2}$).
3. Функция $f(x)$ убывает на промежутке $[-2, 1]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает. Учитывая точку разрыва $x=-1$, получаем промежутки возрастания: $[-2, -1)$ и $(-1, 1]$.
4. Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[1, 3]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает. Учитывая точку разрыва $x=2$, получаем промежутки убывания: $[1, 2)$ и $(2, 3]$.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ постоянна на промежутке $[-3, -2]$; возрастает на промежутках $[-2, -1)$ и $(-1, 1]$; убывает на промежутках $[1, 2)$ и $(2, 3]$.

г) рис. 21.

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 21.
1. Функция $f(x)$ обращается в ноль в точках $x=-2$, $x=0$ и $x=2$. В этих точках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ имеет вертикальные асимптоты.
2. Функция $f(x)$ возрастает на промежутках $[-3, -1]$ и $[1, 3]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает. Учитывая точки разрыва $x=-2$ и $x=2$, получаем промежутки убывания: $[-3, -2)$, $(-2, -1]$, $[1, 2)$ и $(2, 3]$.
3. Функция $f(x)$ убывает на промежутке $[-1, 1]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает. Учитывая точку разрыва $x=0$, получаем промежутки возрастания: $[-1, 0)$ и $(0, 1]$.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 1]$; убывает на промежутках $[-3, -2)$, $(-2, -1]$, $[1, 2)$ и $(2, 3]$.