Номер 8.5, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.5. a) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

б) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

в) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

г) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

а) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ возрастает на промежутке $X$. По определению, функция является возрастающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) < g(x_2)$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ возрастает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только положительные значения, то $f(x_1) > 0$ и $f(x_2) > 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $0 < f(x_1) < f(x_2)$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. Так как обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ положительны, мы можем возвести его в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) < g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) < g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ убывает на промежутке $X$. По определению, функция является убывающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ убывает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только положительные значения, то $f(x_1) > 0$ и $f(x_2) > 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $f(x_1) > f(x_2) > 0$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. Так как обе части неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ положительны, мы можем возвести его в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(f(x_1))^2 > (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) > g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ убывает на промежутке $X$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ возрастает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только отрицательные значения, то $f(x_1) < 0$ и $f(x_2) < 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $f(x_1) < f(x_2) < 0$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. При возведении в квадрат отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Чтобы это показать, умножим обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ на $-1$, что изменит знак неравенства: $-f(x_1) > -f(x_2)$. Теперь обе части нового неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат: $(-f(x_1))^2 > (-f(x_2))^2$. Так как для любого числа $a$ верно, что $(-a)^2 = a^2$, получаем:

$(f(x_1))^2 > (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) > g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ возрастает на промежутке $X$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ убывает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только отрицательные значения, то $f(x_1) < 0$ и $f(x_2) < 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $0 > f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. Умножим обе части неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ на $-1$, что изменит знак неравенства: $-f(x_1) < -f(x_2)$. Теперь обе части нового неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат: $(-f(x_1))^2 < (-f(x_2))^2$. Так как $(-a)^2 = a^2$, получаем:

$(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) < g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) < g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.