gdz.top
Номер 8.9, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 2. Числовые функции. Параграф 8. Свойства функций - номер 8.9, страница 57.
№8.8
№8.9 (с. 57)
Условие. №8.9 (с. 57)
08.9. а) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на X.
б) Пусть функция $y = f(x)$ убывает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на X.
в) Пусть функция $y = f(x)$ убывает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на X.
г) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на X.
Решение 1. №8.9 (с. 57)
Решение 2. №8.9 (с. 57)
Решение 3. №8.9 (с. 57)
а) Для доказательства воспользуемся определением убывающей функции. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из множества $X$ такие, что $x_1 < x_2$. Так как функция $y = f(x)$ возрастает на $X$, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$. По условию, функция $f(x)$ принимает только положительные значения, значит $0 < f(x_1) < f(x_2)$. Рассмотрим значения функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точках $x_1$ и $x_2$: $y_1 = \frac{1}{f(x_1)}$ и $y_2 = \frac{1}{f(x_2)}$. Так как $f(x_1)$ и $f(x_2)$ — положительные числа и $f(x_1) < f(x_2)$, то для их обратных величин будет выполняться неравенство $\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$. Следовательно, $y_1 > y_2$. Мы показали, что для любых $x_1 < x_2$ из множества $X$ выполняется неравенство $\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$, что по определению означает, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на $X$.
Ответ: что и требовалось доказать.
б) Для доказательства воспользуемся определением возрастающей функции. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из множества $X$ такие, что $x_1 < x_2$. Так как функция $y = f(x)$ убывает на $X$, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$. По условию, функция $f(x)$ принимает только отрицательные значения, значит $f(x_2) < f(x_1) < 0$. Рассмотрим значения функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точках $x_1$ и $x_2$: $y_1 = \frac{1}{f(x_1)}$ и $y_2 = \frac{1}{f(x_2)}$. Так как $f(x_1)$ и $f(x_2)$ — отрицательные числа и $f(x_1) > f(x_2)$, то для их обратных величин будет выполняться неравенство $\frac{1}{f(x_1)} < \frac{1}{f(x_2)}$. (Например, если $-2 > -3$, то $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$). Следовательно, $y_1 < y_2$. Мы показали, что для любых $x_1 < x_2$ из множества $X$ выполняется неравенство $\frac{1}{f(x_1)} < \frac{1}{f(x_2)}$, что по определению означает, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на $X$.
Ответ: что и требовалось доказать.
в) Для доказательства воспользуемся определением возрастающей функции. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из множества $X$ такие, что $x_1 < x_2$. Так как функция $y = f(x)$ убывает на $X$, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$. По условию, функция $f(x)$ принимает только положительные значения, значит $f(x_1) > f(x_2) > 0$. Рассмотрим значения функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точках $x_1$ и $x_2$: $y_1 = \frac{1}{f(x_1)}$ и $y_2 = \frac{1}{f(x_2)}$. Так как $f(x_1)$ и $f(x_2)$ — положительные числа и $f(x_1) > f(x_2)$, то для их обратных величин будет выполняться неравенство $\frac{1}{f(x_1)} < \frac{1}{f(x_2)}$. Следовательно, $y_1 < y_2$. Мы показали, что для любых $x_1 < x_2$ из множества $X$ выполняется неравенство $\frac{1}{f(x_1)} < \frac{1}{f(x_2)}$, что по определению означает, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на $X$.
Ответ: что и требовалось доказать.
г) Для доказательства воспользуемся определением убывающей функции. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из множества $X$ такие, что $x_1 < x_2$. Так как функция $y = f(x)$ возрастает на $X$, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$. По условию, функция $f(x)$ принимает только отрицательные значения, значит $f(x_1) < f(x_2) < 0$. Рассмотрим значения функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точках $x_1$ и $x_2$: $y_1 = \frac{1}{f(x_1)}$ и $y_2 = \frac{1}{f(x_2)}$. Так как $f(x_1)$ и $f(x_2)$ — отрицательные числа и $f(x_1) < f(x_2)$, то для их обратных величин будет выполняться неравенство $\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$. Следовательно, $y_1 > y_2$. Мы показали, что для любых $x_1 < x_2$ из множества $X$ выполняется неравенство $\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$, что по определению означает, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на $X$.
Ответ: что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8.9 расположенного на странице 57 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.9 (с. 57), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.