Номер 8.6, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.6. Найдите промежутки монотонности функции:

а) $y = (x^2 + 1)^2;$

б) $y = x^4 + 6x^2 + 15;$

в) $y = (x^2 - 3x + 10)^2;$

г) $y = (x^2 + 2)^2 - 2x^2 - 3.$

а) $y = (x^2 + 1)^2$

Для нахождения промежутков монотонности функции найдем ее производную. Данная функция является сложной, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
$y' = ((x^2 + 1)^2)' = 2(x^2 + 1) \cdot (x^2 + 1)' = 2(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x(x^2 + 1)$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x(x^2 + 1) = 0$.
Так как выражение $x^2 + 1$ всегда строго больше нуля (поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$), уравнение равносильно $4x = 0$, откуда $x = 0$. Это единственная критическая точка.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось. Знак производной $y'$ совпадает со знаком множителя $x$, так как $(x^2+1) > 0$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает на этом промежутке.
- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

б) $y = x^4 + 6x^2 + 15$

Найдем производную функции:
$y' = (x^4 + 6x^2 + 15)' = 4x^3 + 12x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x^3 + 12x = 0$
$4x(x^2 + 3) = 0$.
Выражение $x^2 + 3$ всегда положительно ( $x^2 + 3 \ge 3$ ), поэтому уравнение сводится к $4x = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Знак $y' = 4x(x^2 + 3)$ определяется знаком множителя $x$.
- При $x < 0$, $y' < 0$, значит, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- При $x > 0$, $y' > 0$, значит, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

в) $y = (x^2 - 3x + 10)^2$

Найдем производную, используя правило для сложной функции:
$y' = ((x^2 - 3x + 10)^2)' = 2(x^2 - 3x + 10) \cdot (x^2 - 3x + 10)' = 2(x^2 - 3x + 10)(2x - 3)$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:
$2(x^2 - 3x + 10)(2x - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^2 - 3x + 10 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, то выражение $x^2 - 3x + 10$ всегда положительно.
2) $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$.
Таким образом, у функции одна критическая точка $x = 1.5$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$. Так как множитель $(x^2 - 3x + 10)$ всегда положителен, знак производной $y'$ определяется знаком множителя $(2x - 3)$.
- При $x < 1.5$, $(2x - 3) < 0$, следовательно $y' < 0$ и функция убывает на промежутке $(-\infty; 1.5]$.
- При $x > 1.5$, $(2x - 3) > 0$, следовательно $y' > 0$ и функция возрастает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1.5]$ и возрастает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

г) $y = (x^2 + 2)^2 - 2x^2 - 3$

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$y = (x^4 + 4x^2 + 4) - 2x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 + 1$.
Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$y = (x^2 + 1)^2$.
Эта функция полностью совпадает с функцией из пункта а), поэтому промежутки монотонности будут такими же. Для полноты решения проведем анализ заново.

Найдем производную:
$y' = ((x^2 + 1)^2)' = 2(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x(x^2 + 1)$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:
$4x(x^2 + 1) = 0$.
Так как $x^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$, единственной критической точкой является $x=0$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- При $x < 0$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- При $x > 0$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.