Номер 8.3, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.3. Докажите:

а) если каждая из двух функций возрастает на промежутке $X$, то их сумма также возрастает на этом промежутке;

б) если каждая из двух функций убывает на промежутке $X$, то их сумма также убывает на этом промежутке.

а)

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, каждая из которых возрастает на промежутке $X$.

По определению возрастающей функции, для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняются следующие неравенства:

$f(x_2) > f(x_1)$

$g(x_2) > g(x_1)$

Нам нужно доказать, что их сумма, функция $h(x) = f(x) + g(x)$, также возрастает на промежутке $X$. Это значит, что для тех же $x_1$ и $x_2$ (где $x_2 > x_1$) должно выполняться неравенство $h(x_2) > h(x_1)$.

Сложим два верных неравенства $f(x_2) > f(x_1)$ и $g(x_2) > g(x_1)$ почленно. Так как оба неравенства одного знака, мы можем это сделать:

$f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1)$

Поскольку $h(x) = f(x) + g(x)$, левая часть полученного неравенства равна $h(x_2)$, а правая — $h(x_1)$. Таким образом, мы имеем:

$h(x_2) > h(x_1)$

Это и есть условие возрастания функции $h(x)$. Так как это справедливо для любой пары $x_1, x_2$ из $X$ при $x_2 > x_1$, мы доказали, что сумма двух возрастающих на промежутке $X$ функций также возрастает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, каждая из которых убывает на промежутке $X$.

По определению убывающей функции, для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняются следующие неравенства:

$f(x_2) < f(x_1)$

$g(x_2) < g(x_1)$

Нам нужно доказать, что их сумма, функция $h(x) = f(x) + g(x)$, также убывает на промежутке $X$. Это значит, что для тех же $x_1$ и $x_2$ (где $x_2 > x_1$) должно выполняться неравенство $h(x_2) < h(x_1)$.

Сложим два верных неравенства $f(x_2) < f(x_1)$ и $g(x_2) < g(x_1)$ почленно. Сложение неравенств одного знака является корректной операцией:

$f(x_2) + g(x_2) < f(x_1) + g(x_1)$

Заменяя суммы на функцию $h(x)$, получаем:

$h(x_2) < h(x_1)$

Это и есть условие убывания функции $h(x)$. Так как это справедливо для любой пары $x_1, x_2$ из $X$ при $x_2 > x_1$, мы доказали, что сумма двух убывающих на промежутке $X$ функций также убывает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.