Номер 7.72, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.72. a) Найдите все числа $x$, для которых $\{x\} = 0,123$;

б) найдите наибольшее целое число, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123.

а)

По определению, дробная часть числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

В условии задачи дано, что $\{x\} = 0,123$.

Подставим это значение в формулу: $0,123 = x - [x]$.

Выразим $x$: $x = [x] + 0,123$.

Целая часть числа, $[x]$, может быть любым целым числом. Обозначим $[x]$ через $n$, где $n \in \mathbb{Z}$ ( $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел).

Таким образом, все числа $x$, для которых дробная часть равна $0,123$, имеют вид $x = n + 0,123$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x = n + 0,123$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Формулировка "найдите наибольшее целое число, ..., дробная часть которого равна 0,123" является несколько неоднозначной, так как дробная часть любого целого числа равна 0, а не 0,123. Наиболее вероятная трактовка состоит в том, чтобы найти наибольшую возможную целую часть $[x]$ для числа $x$, которое удовлетворяет условиям.

Итак, мы ищем число $x$, которое удовлетворяет двум условиям:
1. Число $x$ не превосходит 1000, то есть $x \le 1000$.
2. Дробная часть числа $x$ равна $0,123$, то есть $\{x\} = 0,123$.

Из пункта а) мы знаем, что любое число $x$ с такой дробной частью можно представить в виде $x = n + 0,123$, где $n$ — целая часть числа $x$ ($n = [x]$).

Подставим это выражение в неравенство $x \le 1000$:
$n + 0,123 \le 1000$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:
$n \le 1000 - 0,123$
$n \le 999,877$

Поскольку $n$ — это целое число, наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $999$.

Это и есть наибольшее целое число, которое может быть целой частью числа $x$, не превосходящего 1000, с дробной частью 0,123. Соответствующее число $x$ будет равно $999 + 0,123 = 999,123$, что действительно не превосходит 1000.

Ответ: 999.