Номер 7.65, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.65. Докажите:

а) если $[x] = k$, то для любого натурального числа $n$ верно равенство $[x + n] = k + n$;

б) если $[x] = k$, то для любого числа $y$ справедливо неравенство $[x + y] \le k + y$.

а) Дано, что $[x] = k$, где $k$ — целое число. По определению целой части числа (антье), это условие равносильно следующему двойному неравенству:$$ k \le x < k + 1 $$Нам необходимо доказать, что для любого натурального числа $n$ верно равенство $[x + n] = k + n$. Поскольку $n$ — натуральное число, оно также является целым. Прибавим число $n$ ко всем частям исходного неравенства:$$ k + n \le x + n < k + 1 + n $$Перегруппируем слагаемые в правой части неравенства для наглядности:$$ k + n \le x + n < (k + n) + 1 $$Пусть $m = k + n$. Так как $k$ и $n$ — целые числа, их сумма $m$ также является целым числом. Тогда неравенство принимает вид:$$ m \le x + n < m + 1 $$Это неравенство является определением целой части для числа $(x+n)$. Оно показывает, что $m$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x+n$. Следовательно, $[x + n] = m$. Подставив обратно значение $m = k + n$, получаем искомое равенство:$$ [x + n] = k + n $$Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) Утверждение, представленное в задаче, а именно, что для $[x] = k$ и любого числа $y$ справедливо неравенство $[x + y] \le k + y$, является неверным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.
Пусть $x = 2.7$. По условию, $k = [x] = [2.7] = 2$.
В качестве числа $y$ выберем $y = 0.5$.
Вычислим левую часть неравенства:$$ [x + y] = [2.7 + 0.5] = [3.2] = 3 $$
Вычислим правую часть неравенства:$$ k + y = 2 + 0.5 = 2.5 $$
Теперь подставим вычисленные значения в исходное неравенство:$$ 3 \le 2.5 $$
Полученное неравенство является ложным. Следовательно, исходное утверждение неверно в общем случае.

Можно предположить, что в условии задачи содержится опечатка. Одно из известных свойств целой части утверждает, что $[x+y] \ge [x] + [y]$. Если бы в задаче требовалось доказать это свойство, то для $[x]=k$ оно бы приняло вид $[x+y] \ge k + [y]$. Доказательство этого верного неравенства приведено ниже.
Представим числа $x$ и $y$ в виде суммы их целой и дробной частей: $x = [x] + \{x\}$ и $y = [y] + \{y\}$, где $0 \le \{x\} < 1$ и $0 \le \{y\} < 1$ — дробные части чисел.
С учетом условия $[x]=k$, имеем $x=k+\{x\}$.
Рассмотрим целую часть суммы $x+y$:$$ [x+y] = [ (k+\{x\}) + ([y]+\{y\}) ] = [k+[y]+\{x\}+\{y\}] $$
Поскольку $k$ и $[y]$ являются целыми числами, их можно вынести за знак целой части на основании свойства, доказанного в пункте а):$$ [x+y] = k+[y] + [\{x\}+\{y\}] $$
Так как $0 \le \{x\} < 1$ и $0 \le \{y\} < 1$, их сумма удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\}+\{y\} < 2$. Это означает, что целая часть $[\{x\}+\{y\}]$ может быть равна либо 0, либо 1. В любом из этих случаев выполняется условие $[\{x\}+\{y\}] \ge 0$.
Следовательно, мы можем заключить:$$ [x+y] = k+[y] + [\{x\}+\{y\}] \ge k+[y] + 0 = k+[y] $$
Таким образом, верное неравенство $[x+y] \ge k + [y]$ доказано.
Ответ: Исходное утверждение в пункте б) неверно. Контрпример: для $x=2.7$ ($k=2$) и $y=0.5$ неравенство $[x + y] \le k + y$ превращается в ложное неравенство $3 \le 2.5$.