Номер 7.59, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.59. а) $y = |2 - \sqrt{5 - x}|;$

б) $y = 2 - \sqrt{5 - |x|};$

в) $y = |2 - \sqrt{5 + x}|;$

г) $y = |2 - \sqrt{5 + |x|}||.$

а) $y = |2 - \sqrt{5 - x}|$
Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $5 - x \ge 0$, что означает $x \le 5$.
Далее, раскроем модуль, для чего необходимо определить знак выражения $2 - \sqrt{5 - x}$.
Рассмотрим два случая:
1. Выражение под модулем неотрицательно: $2 - \sqrt{5 - x} \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $2 \ge \sqrt{5 - x}$. Так как обе части неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $4 \ge 5 - x$.
Отсюда получаем $x \ge 5 - 4$, то есть $x \ge 1$.
С учетом области определения ($x \le 5$), этот случай имеет место при $1 \le x \le 5$. В этом интервале $|2 - \sqrt{5 - x}| = 2 - \sqrt{5 - x}$.
2. Выражение под модулем отрицательно: $2 - \sqrt{5 - x} < 0$.
Это неравенство эквивалентно $2 < \sqrt{5 - x}$. Возводя в квадрат, получаем $4 < 5 - x$.
Отсюда $x < 5 - 4$, то есть $x < 1$.
В этом интервале $|2 - \sqrt{5 - x}| = -(2 - \sqrt{5 - x}) = \sqrt{5 - x} - 2$.
Таким образом, функцию можно представить в виде:
Ответ: $y = \begin{cases} \sqrt{5 - x} - 2, & \text{при } x < 1 \\ 2 - \sqrt{5 - x}, & \text{при } 1 \le x \le 5 \end{cases}$

б) $y = 2 - \sqrt{5 - |x|}$
Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5 - |x| \ge 0$.
Это означает $|x| \le 5$, что эквивалентно $-5 \le x \le 5$.
В данном выражении нет внешнего модуля, который можно было бы упростить для всех $x$ сразу, но есть $|x|$. Чтобы раскрыть его, рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = 2 - \sqrt{5 - x}$. Этот случай рассматривается на промежутке $0 \le x \le 5$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = 2 - \sqrt{5 - (-x)} = 2 - \sqrt{5 + x}$. Этот случай рассматривается на промежутке $-5 \le x < 0$.
Таким образом, функцию можно представить в кусочном виде:
Ответ: $y = \begin{cases} 2 - \sqrt{5 + x}, & \text{при } -5 \le x < 0 \\ 2 - \sqrt{5 - x}, & \text{при } 0 \le x \le 5 \end{cases}$

в) $y = |2 - \sqrt{5 + x}|$
Найдем область определения функции: выражение под корнем $5 + x$ должно быть неотрицательным, то есть $5 + x \ge 0$, откуда $x \ge -5$.
Раскроем модуль, определив знак выражения $2 - \sqrt{5 + x}$.
1. Рассмотрим случай, когда $2 - \sqrt{5 + x} \ge 0$.
Это эквивалентно $2 \ge \sqrt{5 + x}$. Возводим в квадрат обе части: $4 \ge 5 + x$.
Отсюда $x \le -1$. С учетом области определения ($x \ge -5$), это верно при $-5 \le x \le -1$.
В этом диапазоне $y = 2 - \sqrt{5 + x}$.
2. Рассмотрим случай, когда $2 - \sqrt{5 + x} < 0$.
Это эквивалентно $2 < \sqrt{5 + x}$. Возводим в квадрат: $4 < 5 + x$.
Отсюда $x > -1$. С учетом области определения, это верно при $x > -1$.
В этом диапазоне $y = -(2 - \sqrt{5 + x}) = \sqrt{5 + x} - 2$.
Запишем функцию в кусочном виде:
Ответ: $y = \begin{cases} 2 - \sqrt{5 + x}, & \text{при } -5 \le x \le -1 \\ \sqrt{5 + x} - 2, & \text{при } x > -1 \end{cases}$

г) $y = |2 - \sqrt{5 + |x|}|$
Найдем область определения. Выражение под корнем $5 + |x|$ должно быть неотрицательным. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $5 + |x| \ge 5$. Выражение под корнем всегда положительно, следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Теперь упростим выражение, раскрыв внешний модуль. Для этого определим знак подмодульного выражения $2 - \sqrt{5 + |x|}$.
Сравним $2$ и $\sqrt{5 + |x|}$. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5 + |x|})^2 = 5 + |x|$.
Поскольку $|x| \ge 0$, то $5 + |x| \ge 5$. Отсюда следует, что $5 + |x| > 4$ для всех $x$.
Это означает, что $\sqrt{5 + |x|} > \sqrt{4} = 2$ для всех $x$.
Следовательно, разность $2 - \sqrt{5 + |x|}$ всегда отрицательна.
По определению модуля, $|a| = -a$ если $a < 0$. Применяя это правило, получаем:
$y = -(2 - \sqrt{5 + |x|}) = \sqrt{5 + |x|} - 2$.
Ответ: $y = \sqrt{5 + |x|} - 2$