Номер 7.55, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.55. Найдите наименьшее целое число, принадлежащее области значений функции:

а) $y = \sqrt{x^2 - 7x - 3}$;

б) $y = \sqrt{x^2 - 7x + 24}$.

а) $y = \sqrt{x^2 - 7x - 3}$

Чтобы найти область значений функции, сначала найдем область значений подкоренного выражения $f(x) = x^2 - 7x - 3$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, функция $f(x)$ имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5$

Наименьшее значение подкоренного выражения равно значению функции в вершине:
$f_{min} = (3.5)^2 - 7 \cdot (3.5) - 3 = 12.25 - 24.5 - 3 = -15.25$

Однако, функция $y$ определена только при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x^2 - 7x - 3 \ge 0$. Это означает, что наименьшее возможное значение, которое может принимать подкоренное выражение, равно 0.

Функция $y = \sqrt{z}$ является возрастающей. Ее наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении ее аргумента. В данном случае наименьшее допустимое значение для $x^2 - 7x - 3$ равно 0.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{0} = 0$.

Область значений функции $E(y) = [0, \infty)$. Наименьшее целое число, принадлежащее этой области, — это 0.

Ответ: 0

б) $y = \sqrt{x^2 - 7x + 24}$

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 7x + 24$. Это также парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение в вершине.

Абсцисса вершины такая же:
$x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5$

Наименьшее значение подкоренного выражения:
$f_{min} = (3.5)^2 - 7 \cdot (3.5) + 24 = 12.25 - 24.5 + 24 = 11.75$

Наименьшее значение подкоренного выражения равно $11.75$. Так как $11.75 > 0$, подкоренное выражение всегда положительно.
Следовательно, область значений для $f(x) = x^2 - 7x + 24$ есть промежуток $[11.75, \infty)$.

Поскольку функция $y = \sqrt{z}$ возрастающая, ее наименьшее значение будет равно корню из наименьшего значения подкоренного выражения:
$y_{min} = \sqrt{11.75}$

Область значений исходной функции $E(y) = [\sqrt{11.75}, \infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку.

Оценим значение $\sqrt{11.75}$. Мы знаем, что:
$3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Поскольку $9 < 11.75 < 16$, то $3 < \sqrt{11.75} < 4$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ находится между 3 и 4. Наименьшее целое число, которое больше или равно этому значению, — это 4.

Ответ: 4