Номер 7.50, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.50. Пусть область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите все целочисленные значения функции:

a) $y = \frac{7}{5 + f(x)}$;

б) $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)}$;

в) $y = \frac{15}{7 - f(x)}$;

г) $y = \frac{f(x)}{6 - f(x)}$.

По условию задачи, область значений функции $y = f(x)$ — это отрезок $[-3; 5]$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство: $-3 \le f(x) \le 5$.

Для каждой из предложенных функций мы найдем ее область значений, а затем определим все целые числа, входящие в эту область.

а) $y = \frac{7}{5 + f(x)}$

Сначала найдем, в каких пределах изменяется знаменатель дроби. Для этого ко всем частям исходного неравенства $-3 \le f(x) \le 5$ прибавим 5:

$5 + (-3) \le 5 + f(x) \le 5 + 5$

$2 \le 5 + f(x) \le 10$

Знаменатель $5 + f(x)$ принимает значения из отрезка $[2; 10]$.

Функция $g(t) = \frac{7}{t}$ является убывающей для положительных $t$. Поскольку знаменатель всегда положителен, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее — при наименьшем.

Наименьшее значение $y_{min} = \frac{7}{10} = 0,7$.

Наибольшее значение $y_{max} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Таким образом, область значений функции $y$ есть отрезок $[0,7; 3,5]$.

Целочисленные значения, которые принадлежат этому отрезку: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

б) $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)}$

Преобразуем выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{7 + f(x) + 1}{7 + f(x)} = \frac{7 + f(x)}{7 + f(x)} + \frac{1}{7 + f(x)} = 1 + \frac{1}{7 + f(x)}$

Найдем область значений выражения $7 + f(x)$:

$7 + (-3) \le 7 + f(x) \le 7 + 5$

$4 \le 7 + f(x) \le 12$

Так как функция $g(t) = \frac{1}{t}$ убывающая, то для выражения $\frac{1}{7 + f(x)}$ получаем:

$\frac{1}{12} \le \frac{1}{7 + f(x)} \le \frac{1}{4}$

Теперь найдем область значений для $y$, прибавив 1 ко всем частям:

$1 + \frac{1}{12} \le 1 + \frac{1}{7 + f(x)} \le 1 + \frac{1}{4}$

$\frac{13}{12} \le y \le \frac{5}{4}$

В десятичном виде это выглядит как $1,08(3) \le y \le 1,25$. В этом интервале нет ни одного целого числа.

Ответ: нет целых значений.

в) $y = \frac{15}{7 - f(x)}$

Найдем область значений знаменателя $7 - f(x)$. Сначала умножим неравенство $-3 \le f(x) \le 5$ на -1 (знаки неравенства изменятся на противоположные):

$-5 \le -f(x) \le 3$

Теперь прибавим 7 ко всем частям:

$7 - 5 \le 7 - f(x) \le 7 + 3$

$2 \le 7 - f(x) \le 10$

Знаменатель принимает значения из отрезка $[2; 10]$. Функция $g(t) = \frac{15}{t}$ является убывающей, поэтому:

$y_{min} = \frac{15}{10} = 1,5$

$y_{max} = \frac{15}{2} = 7,5$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[1,5; 7,5]$.

Целочисленные значения, принадлежащие этому отрезку: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

г) $y = \frac{f(x)}{6 - f(x)}$

Преобразуем выражение:

$y = \frac{f(x)}{6 - f(x)} = \frac{-(6 - f(x)) + 6}{6 - f(x)} = \frac{-(6 - f(x))}{6 - f(x)} + \frac{6}{6 - f(x)} = -1 + \frac{6}{6 - f(x)}$

Найдем область значений для $6 - f(x)$:

$-5 \le -f(x) \le 3$

$6 - 5 \le 6 - f(x) \le 6 + 3$

$1 \le 6 - f(x) \le 9$

Найдем область значений для дроби $\frac{6}{6 - f(x)}$. Так как $g(t)=\frac{6}{t}$ убывающая функция:

$\frac{6}{9} \le \frac{6}{6 - f(x)} \le \frac{6}{1}$

$\frac{2}{3} \le \frac{6}{6 - f(x)} \le 6$

Теперь найдем область значений для $y$, отняв 1 от всех частей:

$\frac{2}{3} - 1 \le -1 + \frac{6}{6 - f(x)} \le 6 - 1$

$-\frac{1}{3} \le y \le 5$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[-\frac{1}{3}; 5]$.

Целочисленные значения, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.