Номер 7.43, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.43. a) $y = \sqrt{x} + 5;$

Б) $y = 1 - 2\sqrt{3 - x};$

В) $y = 2 - \sqrt{x + 3};$

Г) $y = -1 + 2\sqrt{-5 - 10x}.$

а) $y = \sqrt{x + 5}$

Чтобы найти область определения функции (D(y)), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
$x + 5 \ge 0$
$x \ge -5$
Следовательно, область определения: $D(y) = [-5; +\infty)$.

Чтобы найти область значений функции (E(y)), проанализируем выражение. Квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение.
$\sqrt{x + 5} \ge 0$
Таким образом, $y \ge 0$.
Следовательно, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-5; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = 1 - 2\sqrt{3 - x}$

Область определения (D(y)): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$
Область определения: $D(y) = (-\infty; 3]$.

Область значений (E(y)):
Так как $\sqrt{3 - x} \ge 0$, то умножив на $-2$, получим (знак неравенства изменится на противоположный):
$-2\sqrt{3 - x} \le 0$
Теперь прибавим $1$ к обеим частям:
$1 - 2\sqrt{3 - x} \le 1$
То есть, $y \le 1$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 3]$; область значений $E(y) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 2 - \sqrt{x + 3}$

Область определения (D(y)): подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Область определения: $D(y) = [-3; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Так как $\sqrt{x + 3} \ge 0$, то умножив на $-1$, получим:
$-\sqrt{x + 3} \le 0$
Прибавим $2$ к обеим частям:
$2 - \sqrt{x + 3} \le 2$
То есть, $y \le 2$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 2]$.

г) $y = -1 + 2\sqrt{-5 - 10x}$

Область определения (D(y)): подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
$-5 - 10x \ge 0$
$-10x \ge 5$
$x \le -\frac{5}{10}$
$x \le -0.5$
Область определения: $D(y) = (-\infty; -0.5]$.

Область значений (E(y)):
Так как $\sqrt{-5 - 10x} \ge 0$, то умножив на $2$, получим:
$2\sqrt{-5 - 10x} \ge 0$
Прибавим $-1$ к обеим частям:
$-1 + 2\sqrt{-5 - 10x} \ge -1$
То есть, $y \ge -1$.
Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -0.5]$; область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.