Номер 7.44, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.44. а) $y = 2 + \frac{x}{|x|}$;

б) $y = x^2 + 2x - \frac{x}{|x|}$;

в) $y = 2x - \frac{x}{|x|}$;

г) $y = x^2 - 2x + \frac{x + 1}{|x + 1|}$.

а) $y = 2 + \frac{x}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = 2 + \frac{x}{x} = 2 + 1 = 3$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся в точке $(0, 3)$ (точка выколота) и идущий вправо.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = 2 + \frac{x}{-x} = 2 - 1 = 1$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся в точке $(0, 1)$ (точка выколота) и идущий влево.

Таким образом, функция является кусочно-постоянной.

Ответ: $y = \begin{cases} 3, & \text{если } x > 0 \\ 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух лучей: $y=3$ при $x>0$ и $y=1$ при $x<0$.

б) $y = x^2 + 2x - \frac{x}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$. Раскроем модуль для двух случаев.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = x^2 + 2x - \frac{x}{x} = x^2 + 2x - 1$.Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Так как мы рассматриваем интервал $x > 0$, вершина не входит в эту часть графика. На этом интервале функция возрастает. График начинается с выколотой точки $(0, -1)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = x^2 + 2x - \frac{x}{-x} = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -1$, $y_v = (-1+1)^2 = 0$. Точка $(-1, 0)$ является вершиной этой части графика. График приближается к выколотой точке $(0, 1)$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 2x - 1, & \text{если } x > 0 \\ (x+1)^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух частей парабол.

в) $y = 2x - \frac{x}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$. Раскроем модуль для двух случаев.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = 2x - \frac{x}{x} = 2x - 1$.Это луч, выходящий из выколотой точки $(0, -1)$ и идущий вправо вверх.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = 2x - \frac{x}{-x} = 2x - (-1) = 2x + 1$.Это луч, идущий из минус бесконечности и приближающийся к выколотой точке $(0, 1)$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2x - 1, & \text{если } x > 0 \\ 2x + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух лучей, параллельных друг другу.

г) $y = x^2 - 2x + \frac{x+1}{|x+1|}$

Область определения функции: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Раскроем модуль в зависимости от знака выражения $x+1$.

1. Если $x+1 > 0$, то есть $x > -1$, то $|x+1| = x+1$. Функция принимает вид:$y = x^2 - 2x + \frac{x+1}{x+1} = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.Это часть параболы с вершиной в точке $(1, 0)$. Поскольку $1 > -1$, вершина принадлежит этой части графика. График начинается с выколотой точки $(-1, (-1-1)^2) = (-1, 4)$.

2. Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x+1| = -(x+1)$. Функция принимает вид:$y = x^2 - 2x + \frac{x+1}{-(x+1)} = x^2 - 2x - 1$.Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы $y = x^2 - 2x - 1$ находится в точке $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Так как мы рассматриваем интервал $x < -1$, вершина не входит в эту часть графика. На этом интервале функция убывает. График приближается к выколотой точке $(-1, (-1)^2 - 2(-1) - 1) = (-1, 1+2-1) = (-1, 2)$.

Ответ: $y = \begin{cases} (x-1)^2, & \text{если } x > -1 \\ x^2 - 2x - 1, & \text{если } x < -1 \end{cases}$. График состоит из двух частей парабол с разрывом в точке $x = -1$.