Номер 7.40, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.40. Найдите все такие числа $b$, принадлежащие области определения $D(f)$ функции $y = \frac{1 - \sqrt{2x^2 - 7x - 22}}{x + 30}$, для которых:

а) число $b + 1$ не принадлежит $D(f)$;

б) число $b - 1$ не принадлежит $D(f)$;

в) оба числа $b + 1$ и $b - 1$ принадлежат $D(f)$;

г) отрезок $[b + 1; b + 2]$ принадлежит $D(f)$.

Сначала найдем область определения $D(f)$ функции $y = \frac{1 - \sqrt{2x^2 - 7x - 22}}{x + 30}$. Область определения задается двумя условиями:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x^2 - 7x - 22 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 30 \ne 0$.

1. Решим квадратное неравенство $2x^2 - 7x - 22 \ge 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 7x - 22 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225 = 15^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$. $x_2 = \frac{7 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5.5$. Так как ветви параболы $y = 2x^2 - 7x - 22$ направлены вверх, неравенство $2x^2 - 7x - 22 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [5.5, +\infty)$.

2. Решим условие $x + 30 \ne 0$. $x \ne -30$.

Объединяя оба условия, получаем область определения функции $D(f)$: $D(f) = (-\infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)$. Множество чисел, которые не принадлежат $D(f)$, это $\mathbb{R} \setminus D(f) = \{-30\} \cup (-2, 5.5)$.

По условию задачи, число $b$ принадлежит области определения $D(f)$, то есть $b \in (-\infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)$.

а) число b + 1 не принадлежит D(f);

Это означает, что $b + 1$ принадлежит множеству $\{-30\} \cup (-2, 5.5)$. Рассмотрим два случая:

1) $b + 1 = -30$, откуда $b = -31$. Проверяем, принадлежит ли это значение $b$ области определения $D(f)$. Так как $-31 < -30$, то $-31 \in D(f)$. Следовательно, $b = -31$ является решением.

2) $b + 1 \in (-2, 5.5)$. Это двойное неравенство: $-2 < b + 1 < 5.5$. Вычитая 1 из всех частей, получаем $-3 < b < 4.5$. Теперь найдем пересечение этого интервала с областью определения $b \in D(f)$: $(-3, 4.5) \cap D(f) = (-3, 4.5) \cap ((- \infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)) = (-3, -2]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in \{-31\} \cup (-3, -2]$.

б) число b - 1 не принадлежит D(f);

Это означает, что $b - 1$ принадлежит множеству $\{-30\} \cup (-2, 5.5)$. Рассмотрим два случая:

1) $b - 1 = -30$, откуда $b = -29$. Проверяем, принадлежит ли это значение $b$ области определения $D(f)$. Так как $-30 < -29 < -2$, то $-29 \in D(f)$. Следовательно, $b = -29$ является решением.

2) $b - 1 \in (-2, 5.5)$. Это двойное неравенство: $-2 < b - 1 < 5.5$. Прибавляя 1 ко всем частям, получаем $-1 < b < 6.5$. Теперь найдем пересечение этого интервала с областью определения $b \in D(f)$: $(-1, 6.5) \cap D(f) = (-1, 6.5) \cap ((- \infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)) = [5.5, 6.5)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in \{-29\} \cup [5.5, 6.5)$.

в) оба числа b + 1 и b - 1 принадлежат D(f);

Мы должны найти такие $b \in D(f)$, для которых также выполняются условия $b - 1 \in D(f)$ и $b + 1 \in D(f)$. Это означает, что ни одно из чисел $b-1, b, b+1$ не должно попасть в множество $\{-30\} \cup (-2, 5.5)$. Рассмотрим, каким может быть $b$ в каждом из интервалов $D(f)$.

1) Пусть $b \in (-\infty, -30)$. Числа $b-1, b, b+1$ должны быть в $D(f)$. Для этого $b-1 \ne -30$, $b \ne -30$, $b+1 \ne -30$. Условие $b \ne -30$ уже выполнено. Условие $b-1 \ne -30$ означает $b \ne -29$, что также выполнено, так как $b < -30$. Условие $b+1 \ne -30$ означает $b \ne -31$. Таким образом, из интервала $(-\infty, -30)$ нужно исключить точку $b = -31$. Получаем $b \in (-\infty, -31)$.

2) Пусть $b \in (-30, -2]$. Условие $b-1 \in D(f)$ означает, что $b-1 \ne -30$ (т.е. $b \ne -29$) и $b-1 \notin (-2, 5.5)$ (что всегда верно для $b \le -2$). Условие $b+1 \in D(f)$ означает, что $b+1 \ne -30$ (что всегда верно для $b > -30$) и $b+1 \notin (-2, 5.5)$. Условие $b+1 \notin (-2, 5.5)$ для $b \in (-30, -2]$ означает, что $b+1 \le -2$, то есть $b \le -3$. Итак, для $b \in (-30, -2]$ мы должны удовлетворять условиям $b \ne -29$ и $b \le -3$. Это дает нам $b \in (-30, -29) \cup (-29, -3]$.

3) Пусть $b \in [5.5, +\infty)$. Условие $b-1 \in D(f)$ означает, что $b-1 \ge 5.5$, то есть $b \ge 6.5$. Условие $b+1 \in D(f)$ означает, что $b+1 \ge 5.5$, то есть $b \ge 4.5$. Оба условия должны выполняться, поэтому выбираем более сильное: $b \ge 6.5$. Получаем $b \in [6.5, +\infty)$.

Объединяя все найденные множества, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in (-\infty, -31) \cup (-30, -29) \cup (-29, -3] \cup [6.5, +\infty)$.

г) отрезок [b + 1; b + 2] принадлежит D(f).

Мы должны найти такие $b \in D(f)$, для которых весь отрезок $[b+1, b+2]$ содержится в $D(f)$. Это означает, что отрезок $[b+1, b+2]$ не должен содержать точку $-30$ и не должен пересекаться с интервалом $(-2, 5.5)$. Это возможно, если отрезок целиком лежит в одном из трех непрерывных участков $D(f)$.

1) Отрезок $[b+1, b+2]$ лежит в $(-\infty, -30)$. Для этого его правый конец должен быть меньше $-30$: $b+2 < -30$, что дает $b < -32$. Любое такое $b$ принадлежит $D(f)$, так как $(-\infty, -32) \subset (-\infty, -30)$. Решение: $b \in (-\infty, -32)$.

2) Отрезок $[b+1, b+2]$ лежит в $(-30, -2]$. Для этого его левый конец должен быть больше $-30$, а правый — меньше или равен $-2$: $b+1 > -30 \implies b > -31$. $b+2 \le -2 \implies b \le -4$. Получаем $b \in (-31, -4]$. Теперь нужно пересечь это множество с $D(f)$. Поскольку $(-31, -4] \subset (-31, -2]$, нам нужно только убедиться, что $b \ne -30$. Решение: $b \in (-31, -30) \cup (-30, -4]$.

3) Отрезок $[b+1, b+2]$ лежит в $[5.5, +\infty)$. Для этого его левый конец должен быть не меньше $5.5$: $b+1 \ge 5.5$, что дает $b \ge 4.5$. Теперь нужно пересечь это множество с $D(f) = (-\infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)$. Пересечение $[4.5, +\infty) \cap D(f)$ дает $[5.5, +\infty)$. Решение: $b \in [5.5, +\infty)$.

Объединяя все найденные множества, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in (-\infty, -32) \cup (-31, -30) \cup (-30, -4] \cup [5.5, +\infty)$.