Номер 7.33, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.33. Пусть $f(x) = x^2 - 3x - 4$; $g(x) = 5x - x^2$. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)};$

б) $y = \sqrt{f(x) \cdot g(x)};$

в) $y = \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}};$

г) $y = \sqrt{\frac{g(x)}{f(x)}}.$

Для решения задачи сначала проанализируем функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ и $g(x) = 5x - x^2$. Область определения функций, содержащих квадратные корни, зависит от знака подкоренных выражений.

1. Анализ функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее корни, решив уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Отсюда следует:

• $f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$
• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$
• $f(x) \le 0$ при $x \in [-1, 4]$

2. Анализ функции $g(x) = 5x - x^2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вниз. Найдем ее корни, решив уравнение $5x - x^2 = 0$, или $x(5 - x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Отсюда следует:

• $g(x) \ge 0$ при $x \in [0, 5]$
• $g(x) > 0$ при $x \in (0, 5)$
• $g(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$

Теперь найдем области определения для каждой из заданных функций.

а) $y = \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)}$

Область определения этой функции задается системой неравенств, так как подкоренное выражение каждого из корней должно быть неотрицательным:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Подставляем условия, найденные ранее:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \\ x \in [0, 5] \end{cases}$

Для нахождения решения системы нужно найти пересечение этих множеств. Рассматривая числовую прямую, видим, что пересечением является отрезок $[4, 5]$.

Ответ: $x \in [4, 5]$.

б) $y = \sqrt{f(x) \cdot g(x)}$

Область определения этой функции задается одним неравенством, так как все произведение находится под одним корнем:

$f(x) \cdot g(x) \ge 0$

Это неравенство эквивалентно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} f(x) \le 0 \\ g(x) \le 0 \end{cases}$

Решение первой системы мы уже нашли в пункте а): $x \in [4, 5]$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \in [-1, 4] \\ x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является отрезок $[-1, 0]$.

Общая область определения является объединением решений обеих систем: $[-1, 0] \cup [4, 5]$.

Ответ: $x \in [-1, 0] \cup [4, 5]$.

в) $y = \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}}$

Область определения этой функции задается системой неравенств. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным (поскольку деление на ноль невозможно).

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Подставляем условия:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \\ x \in (0, 5) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является полуинтервал $[4, 5)$.

Ответ: $x \in [4, 5)$.

г) $y = \frac{g(x)}{\sqrt{f(x)}}$

Область определения этой функции задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным. Числитель $g(x)$ является многочленом, который определен для любого действительного $x$ и не накладывает дополнительных ограничений.

$f(x) > 0$

Используя результаты предварительного анализа, получаем:

$x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.