Номер 7.30, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.30. a) Пусть $f(x) = x^2 + 2$. Докажите, что $f(x) = f(-x)$.

б) Пусть $f(x) = -x^3 + 2x$. Докажите, что $f(x) = -f(-x)$.

в) Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$. Докажите, что $(f(x))^{-1} = f\left(\frac{1}{x}\right)$.

г) Пусть $f(x) = x^2 + 2$. Докажите, что $f(|x|) = f(x)$ и $|f(x)| = f(x)$.

а)

Дана функция $f(x) = x^2 + 2$. Необходимо доказать, что $f(x) = f(-x)$.

Чтобы доказать это тождество, найдем значение функции в точке $-x$. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в исходное уравнение функции:
$f(-x) = (-x)^2 + 2$.

При возведении отрицательного числа в квадрат, знак минус исчезает, так как $(-x) \cdot (-x) = x^2$. Поэтому выражение упрощается:
$f(-x) = x^2 + 2$.

Теперь сравним полученное выражение для $f(-x)$ с исходным выражением для $f(x)$:
$f(x) = x^2 + 2$
$f(-x) = x^2 + 2$
Поскольку правые части выражений совпадают, мы можем заключить, что $f(x) = f(-x)$, что и требовалось доказать. (Такие функции называются четными).

Ответ: Равенство $f(x) = f(-x)$ доказано.

б)

Дана функция $f(x) = -x^3 + 2x$. Необходимо доказать, что $f(x) = -f(-x)$.

Сначала найдем выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = -(-x)^3 + 2(-x)$.

Упростим это выражение. Мы знаем, что $(-x)^3 = -x^3$.
$f(-x) = -(-x^3) - 2x = x^3 - 2x$.

Теперь найдем выражение для $-f(-x)$, умножив полученное $f(-x)$ на $-1$:
$-f(-x) = -(x^3 - 2x) = -x^3 + 2x$.

Сравним результат с исходной функцией $f(x)$:
$f(x) = -x^3 + 2x$
$-f(-x) = -x^3 + 2x$
Выражения полностью совпадают, следовательно, $f(x) = -f(-x)$, что и требовалось доказать. (Такие функции называются нечетными).

Ответ: Равенство $f(x) = -f(-x)$ доказано.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Необходимо доказать, что $(f(x))^{-1} = f\left(\frac{1}{x}\right)$.

Докажем это, преобразовав левую и правую части равенства по отдельности.
Левая часть: $(f(x))^{-1}$.
Подставим определение функции $f(x)$:
$(f(x))^{-1} = \left(\frac{1}{x}\right)^{-1}$.
Возведение дроби в степень $-1$ означает взятие обратной дроби:
$\left(\frac{1}{x}\right)^{-1} = \frac{x}{1} = x$.

Правая часть: $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
Найдем значение функции, подставив в нее $\frac{1}{x}$ в качестве аргумента:
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)}$.
Разделить единицу на дробь - это то же самое, что умножить единицу на перевернутую дробь:
$\frac{1}{\frac{1}{x}} = 1 \cdot \frac{x}{1} = x$.

Мы получили, что и левая, и правая части равенства равны $x$. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство $(f(x))^{-1} = f\left(\frac{1}{x}\right)$ доказано.

г)

Дана функция $f(x) = x^2 + 2$. Необходимо доказать два равенства: $f(|x|) = f(x)$ и $|f(x)| = f(x)$.

Доказательство первого равенства: $f(|x|) = f(x)$.
Найдем $f(|x|)$, подставив $|x|$ в качестве аргумента в функцию:
$f(|x|) = (|x|)^2 + 2$.
Квадрат модуля числа равен квадрату самого числа, то есть $(|x|)^2 = x^2$ для любого действительного $x$.
Значит, $f(|x|) = x^2 + 2$.
Это выражение совпадает с исходной функцией $f(x)$, поэтому $f(|x|) = f(x)$.

Доказательство второго равенства: $|f(x)| = f(x)$.
Равенство $|A| = A$ верно только в том случае, если $A$ является неотрицательным числом, то есть $A \ge 0$. В нашем случае $A = f(x) = x^2 + 2$.
Проверим знак функции $f(x)$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$: $x^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 2, результат всегда будет положительным:
$x^2 + 2 \ge 0 + 2 \implies f(x) \ge 2$.
Так как $f(x)$ всегда принимает положительные значения, ее модуль равен самому значению функции. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$.

Ответ: Оба равенства, $f(|x|) = f(x)$ и $|f(x)| = f(x)$, доказаны.