Номер 7.23, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область определения функции:

7.23. a) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$;

б) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

в) $y = \frac{x - 2}{x^2 - x - 12}$;

г) $y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 1 = 0$
Разложим на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -1$ и $x = 1$.
В виде интервалов это записывается как $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель $x^2 + 1$ не равен нулю.
Рассмотрим выражение в знаменателе. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$.
Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{x - 2}{x^2 - x - 12}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение:
$x^2 - x - 12 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3$
Таким образом, функция не определена при $x = -3$ и $x = 4$.
Область определения — это все действительные числа, кроме -3 и 4.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Проверим, может ли знаменатель $x^2 + x + 12$ быть равен нулю. Для этого решим уравнение:
$x^2 + x + 12 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Это означает, что знаменатель $x^2 + x + 12$ никогда не равен нулю (он всегда положителен, так как ветви параболы $y=x^2+x+12$ направлены вверх, а вершина находится выше оси абсцисс).
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.