Страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое модуль действительного числа?

2. $\sqrt{a^2}$

1. Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется само это число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

Таким образом, определение модуля можно записать в виде формулы:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Из этого определения следует:

• Модуль положительного числа равен самому числу. Например, $|15| = 15$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Например, $|-8| = -(-8) = 8$.
• Модуль нуля равен нулю. $|0| = 0$.

Геометрический смысл модуля

С геометрической точки зрения, модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчета (точки 0). Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной ($|a| \ge 0$).

Например, точки с координатами 5 и -5 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, равном 5 единицам. Поэтому $|5| = 5$ и $|-5| = 5$.

Основные свойства модуля:

• Модуль числа всегда неотрицателен: $|a| \ge 0$.
• Модули противоположных чисел равны: $|a| = |-a|$.
• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $|a|^2 = a^2$.
• Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
• Неравенство треугольника: модуль суммы двух чисел не превышает сумму их модулей: $|a + b| \le |a| + |b|$.

Ответ: Модуль действительного числа $a$ (обозначается $|a|$) — это неотрицательное число, определяемое как само число $a$, если $a \ge 0$, и как противоположное число $-a$, если $a < 0$. Геометрически модуль — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой.

2. Объясните, почему для любого действительного числа выполняется неравенство $|a| \ge 0$.

Неравенство $|a| \ge 0$ справедливо для любого действительного числа $a$, и это следует непосредственно из определения модуля (абсолютной величины).

Определение модуля числа $a$ задается следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Чтобы доказать утверждение, рассмотрим все возможные случаи для действительного числа $a$.

Случай 1: Число a неотрицательное, то есть $a \ge 0$.
В этом случае, по первой строке определения, модуль числа $a$ равен самому числу $a$: $|a| = a$. Поскольку мы рассматриваем случай, когда $a \ge 0$, то и $|a|$ также будет больше или равно нулю. Таким образом, неравенство $|a| \ge 0$ выполняется.

Случай 2: Число a отрицательное, то есть $a < 0$.
В этом случае, по второй строке определения, модуль числа $a$ равен противоположному числу, то есть $-a$: $|a| = -a$. Если число $a$ отрицательное ($a < 0$), то умножение его на $-1$ дает в результате положительное число. Например, если $a = -7$, то $|-7| = -(-7) = 7$, что больше нуля. В общем виде, если $a < 0$, то $-a > 0$. Следовательно, в этом случае $|a|$ всегда строго больше нуля, а значит, условие $|a| \ge 0$ тем более выполняется.

Мы рассмотрели все возможные действительные числа (неотрицательные и отрицательные) и показали, что в каждом из случаев их модуль является неотрицательным числом.

Также это утверждение можно объяснить с помощью геометрического смысла модуля. Модуль числа $|a|$ представляет собой расстояние на числовой прямой от точки с координатой $a$ до начала отсчета (точки 0). Расстояние по своему определению не может быть отрицательной величиной; оно либо равно нулю (когда точка совпадает с началом отсчета), либо положительно. Следовательно, $|a| \ge 0$ для любого $a$.

Ответ: Выполнение неравенства $|a| \ge 0$ следует из определения модуля. Если число $a$ неотрицательно ($a \ge 0$), то его модуль равен самому числу, и, следовательно, он неотрицателен. Если число $a$ отрицательно ($a < 0$), то его модуль равен противоположному ему числу $-a$, которое всегда является положительным. В итоге, модуль любого действительного числа всегда является неотрицательным числом.

3. Докажите, что:

а) $|ab| = |a||b|;$

б) $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|};$

в) $|a|^2 = a^2;$

г) $|a| = |-a|.$

а) Для доказательства свойства $|ab| = |a| |b|$ воспользуемся определением модуля через квадратный корень: для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $|x| = \sqrt{x^2}$.
Преобразуем левую часть равенства:
$|ab| = \sqrt{(ab)^2}$
Используя свойство степени произведения, получаем:
$\sqrt{(ab)^2} = \sqrt{a^2b^2}$
Далее, по свойству корня из произведения ($\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ для неотрицательных $x$ и $y$, а $a^2$ и $b^2$ всегда неотрицательны):
$\sqrt{a^2b^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2}$
Так как по определению $\sqrt{a^2} = |a|$ и $\sqrt{b^2} = |b|$, то мы приходим к выражению в правой части исходного равенства:
$\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = |a| |b|$
Таким образом, $|ab| = |a| |b|$, что и требовалось доказать.
Ответ: $|ab| = |a| |b|$.

б) Для доказательства равенства $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при условии $b \neq 0$) также воспользуемся свойством $|x| = \sqrt{x^2}$.
Преобразуем левую часть:
$|\frac{a}{b}| = \sqrt{(\frac{a}{b})^2}$
Используя свойство степени частного:
$\sqrt{(\frac{a}{b})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{b^2}}$
Применяя свойство корня из частного ($\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ для $x \ge 0, y > 0$):
$\sqrt{\frac{a^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}$
По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$ и $\sqrt{b^2} = |b|$. Следовательно:
$\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}} = \frac{|a|}{|b|}$
Таким образом, $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$, что и требовалось доказать.
Ответ: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.

в) Для доказательства тождества $|a|^2 = a^2$ рассмотрим два случая, исходя из определения модуля числа $a$:
1. Если $a \ge 0$, то по определению $|a| = a$. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем $|a|^2 = a^2$.
2. Если $a < 0$, то по определению $|a| = -a$. Возводя обе части в квадрат, получаем $|a|^2 = (-a)^2$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего положительного числа, то $(-a)^2 = a^2$. Следовательно, и в этом случае $|a|^2 = a^2$.
Поскольку равенство выполняется для всех действительных чисел $a$, оно доказано.
Ответ: $|a|^2 = a^2$.

г) Для доказательства равенства $|a| = |-a|$ можно использовать свойство, доказанное в пункте в): $|x|^2 = x^2$.
Применим это свойство к выражению $|-a|$:
$|-a|^2 = (-a)^2 = a^2$
Мы также знаем, что $|a|^2 = a^2$.
Таким образом, мы имеем $|-a|^2 = |a|^2$.
Поскольку модуль любого числа является неотрицательной величиной, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:
$\sqrt{|-a|^2} = \sqrt{|a|^2}$
$|-a| = |a|$
Равенство доказано.
Ответ: $|a| = |-a|$.

4. Приведите пример, когда соотношение $|a + b| = |a| + |b|$ является верным, и пример, когда оно неверно.

Пример, когда соотношение $|a + b| = |a| + |b|$ является верным

Данное равенство, являющееся случаем равенства в неравенстве треугольника, выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны). В общем виде это условие можно записать как $ab \ge 0$.
Возьмем в качестве примера два числа одного знака, например, $a = 5$ и $b = 3$.
Подставим эти значения в обе части соотношения и проверим равенство.
Левая часть: $|a + b| = |5 + 3| = |8| = 8$.
Правая часть: $|a| + |b| = |5| + |3| = 5 + 3 = 8$.
Так как левая и правая части равны ($8 = 8$), соотношение в данном случае является верным.
Ответ: например, при $a = 5$ и $b = 3$ соотношение является верным.

Пример, когда оно неверно

Соотношение неверно, когда числа a и b имеют разные знаки (одно положительное, а другое отрицательное). В общем виде это условие можно записать как $ab < 0$. В этом случае всегда будет выполняться строгое неравенство $|a + b| < |a| + |b|$.
Возьмем в качестве примера числа с разными знаками, например, $a = 5$ и $b = -3$.
Подставим эти значения в обе части соотношения и сравним их.
Левая часть: $|a + b| = |5 + (-3)| = |2| = 2$.
Правая часть: $|a| + |b| = |5| + |-3| = 5 + 3 = 8$.
Так как левая и правая части не равны ($2 \neq 8$), соотношение в данном случае является неверным.
Ответ: например, при $a = 5$ и $b = -3$ соотношение является неверным.

5. Приведите пример, когда соотношение $ |a| - |b| = |a - b| $ является верным, и пример, когда оно неверно.

Рассмотрим соотношение $|a| - |b| = |a - b|$.

Это равенство является частным случаем неравенства треугольника и выполняется не для всех чисел. Равенство достигается тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (или одно из них равно нулю) и модуль числа $a$ больше или равен модулю числа $b$. Это можно записать в виде условия: $a \cdot b \ge 0$ и $|a| \ge |b|$. Геометрически это означает, что на числовой прямой точка $b$ лежит между точкой $0$ и точкой $a$ (включая границы).

Выберем числа, которые удовлетворяют вышеописанному условию. Например, пусть $a$ и $b$ будут положительными, и $a \ge b$.
Возьмем $a = 7$ и $b = 3$.

Подставим эти значения в левую часть равенства:
$|a| - |b| = |7| - |3| = 7 - 3 = 4$.

Теперь подставим их в правую часть:
$|a - b| = |7 - 3| = |4| = 4$.

Так как левая и правая части равны ($4 = 4$), для данных значений соотношение является верным.

Ответ: Соотношение верно, например, при $a = 7$ и $b = 3$.

Чтобы соотношение было неверным, нужно нарушить условие его истинности. Это произойдет, например, если числа $a$ и $b$ имеют разные знаки.
Возьмем $a = 7$ и $b = -3$.

Подставим эти значения в левую часть равенства:
$|a| - |b| = |7| - |-3| = 7 - 3 = 4$.

Теперь подставим их в правую часть:
$|a - b| = |7 - (-3)| = |7 + 3| = |10| = 10$.

Сравнивая результаты, мы видим, что $4 \ne 10$. Следовательно, для этих значений $a$ и $b$ соотношение неверно.

Ответ: Соотношение неверно, например, при $a = 7$ и $b = -3$.

6. В чём состоит геометрический смысл выражения $|a|$?

6.

Геометрический смысл выражения $|a|$, которое называется модулем или абсолютной величиной числа $a$, заключается в представлении расстояния на числовой прямой.

Представим себе числовую прямую, на которой каждому действительному числу соответствует определенная точка. Точка, соответствующая числу 0, называется началом отсчета.

Модуль числа $a$, обозначаемый как $|a|$, геометрически — это расстояние от точки, соответствующей числу $a$ на числовой прямой, до начала отсчета (точки 0). Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$.

Например:
- Выражение $|5|$ равно 5, так как расстояние от точки с координатой 5 до точки 0 равно 5.
- Выражение $|-5|$ также равно 5, потому что расстояние от точки с координатой -5 до точки 0 также равно 5.
- Модуль нуля $|0|$ равен 0, так как точка 0 совпадает с началом отсчета, и расстояние от точки до самой себя равно нулю.

Таким образом, модуль "убирает" знак у числа, оставляя только его величину, что геометрически соответствует измерению "чистого" расстояния до нуля, независимо от направления (в положительную или отрицательную сторону по числовой оси).

Ответ: Геометрический смысл выражения $|a|$ — это расстояние от точки с координатой $a$ на числовой прямой до начала отсчета (точки с координатой 0).

7. На числовой прямой отмечены две точки $a$ и $b$. Чему равно расстояние между ними?

0.05

Чтобы найти расстояние между точками a и b, для начала определим их координаты на числовой прямой.

1. Определение цены деления. На числовой прямой отмечены точки 0 и -1. Расстояние между ними равно 1. Данный отрезок разделен на 5 равных частей. Таким образом, цена одного деления шкалы составляет:
$1 \div 5 = 0.2$

2. Нахождение координат точек.
Точка a находится на 2 деления левее нуля. Следовательно, её координата:
$a = -2 \cdot 0.2 = -0.4$
Точка b находится на 3 деления правее нуля. Следовательно, её координата:
$b = 3 \cdot 0.2 = 0.6$

3. Вычисление расстояния. Расстояние между двумя точками на числовой прямой равно модулю разности их координат. Обозначим расстояние как d.
$d = |b - a|$
Подставим найденные значения координат:
$d = |0.6 - (-0.4)| = |0.6 + 0.4| = |1| = 1$
Так как точки находятся по разные стороны от нуля, расстояние между ними можно также найти как сумму их расстояний до нуля:
$d = |-0.4| + |0.6| = 0.4 + 0.6 = 1$

Ответ: 1

8. Объясните, как с помощью числовой прямой решить:

а) уравнение $|x - 3| = 5$;

б) неравенство $|x - 3| < 5$;

в) неравенство $|x - 3| \ge 5$.

Геометрический смысл модуля разности двух чисел $|a - b|$ — это расстояние между точками $a$ и $b$ на числовой прямой. Таким образом, выражение $|x - 3|$ означает расстояние между некоторой точкой $x$ и точкой $3$.

а) уравнение $|x - 3| = 5$

Это уравнение можно прочитать так: "расстояние от точки $x$ до точки $3$ равно $5$". Чтобы найти такие точки $x$ на числовой прямой, нужно от точки $3$ отложить расстояние, равное $5$, в обе стороны — вправо и влево.

1. Находим точку справа от 3: $x_1 = 3 + 5 = 8$.

2. Находим точку слева от 3: $x_2 = 3 - 5 = -2$.

Таким образом, на числовой прямой есть две точки, которые удалены от точки $3$ на расстояние $5$: это точки $-2$ и $8$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 8$.

б) неравенство $|x - 3| < 5$

Это неравенство означает, что "расстояние от точки $x$ до точки $3$ меньше, чем $5$". На числовой прямой это все точки, которые находятся к точке $3$ ближе, чем на $5$ единиц.

Граничными точками, где расстояние равно $5$, как мы нашли в пункте а), являются $-2$ и $8$. Нам нужны все точки, которые лежат между этими граничными точками, поскольку их расстояние до точки $3$ будет меньше $5$.

Так как неравенство строгое ($<$), сами точки $-2$ и $8$ в решение не входят. Решением будет интервал $(-2, 8)$.

Ответ: $x \in (-2, 8)$.

в) неравенство $|x - 3| \ge 5$

Это неравенство означает, что "расстояние от точки $x$ до точки $3$ больше или равно $5$". На числовой прямой это все точки, которые находятся от точки $3$ на расстоянии $5$ или еще дальше.

Используя те же граничные точки $-2$ и $8$, мы ищем все точки, которые лежат не между ними. Это будут два луча на числовой прямой:

1. Точки, которые лежат левее $-2$, включая саму точку $-2$: $x \le -2$.

2. Точки, которые лежат правее $8$, включая саму точку $8$: $x \ge 8$.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граничные точки $-2$ и $8$ включаются в решение. Решением является объединение двух этих множеств.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [8, +\infty)$.

7.21. Постройте график функции и найдите область её значений:

а) $y = 2x^2 - 1, x \in [-2; 1]$;

б) $y = \frac{x+1}{x-1}, x \in [0; +\infty)$;

в) $y = \sqrt{x+3} - 1, x \in (-2; 1]$;

г) $y = 2x^2 + 2x - 1, x \in [-1; 2]$.

а) $y = 2x^2 - 1, x \in [-2; 1]$

График функции $y = 2x^2 - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. Ордината вершины $y_v = 2(0)^2 - 1 = -1$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, -1)$.
Функция рассматривается на отрезке $x \in [-2; 1]$. Для построения графика найдем значения функции на концах этого отрезка:
При $x = -2$: $y(-2) = 2(-2)^2 - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.
При $x = 1$: $y(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.
График представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-2, 7)$ и $(1, 1)$ и проходящую через вершину $(0, -1)$.
Для нахождения области значений (множества всех значений $y$) найдем наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке. Так как абсцисса вершины $x_v=0$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$, то наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{min} = -1$. Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Сравнивая $y(-2)=7$ и $y(1)=1$, получаем $y_{max} = 7$.
Следовательно, область значений функции — это все значения от $-1$ до $7$ включительно.
Ответ: $E(y) = [-1; 7]$.

б) $y = \frac{x+1}{x-1}, x \in [0; +\infty)$

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{x-1+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
График имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.
Функция рассматривается на промежутке $x \in [0; +\infty)$, который включает точку разрыва $x=1$. Поэтому рассмотрим поведение функции на двух частях области определения: $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
1. На промежутке $[0; 1)$:
При $x=0$, $y(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1$.
При $x \to 1$ (слева), знаменатель $x-1$ стремится к $0$, оставаясь отрицательным, поэтому $y \to -\infty$.
На этом промежутке функция принимает все значения из $(-\infty; -1]$.
2. На промежутке $(1; +\infty)$:
При $x \to 1$ (справа), знаменатель $x-1$ стремится к $0$, оставаясь положительным, поэтому $y \to +\infty$.
При $x \to +\infty$, дробь $\frac{2}{x-1} \to 0$, поэтому $y \to 1$.
На этом промежутке функция принимает все значения из $(1; +\infty)$.
График состоит из двух ветвей: одна начинается в точке $(0, -1)$ и уходит вниз вдоль асимптоты $x=1$; вторая ветвь идет от $+\infty$ вдоль асимптоты $x=1$ и приближается к асимптоте $y=1$ при $x \to +\infty$.
Область значений функции является объединением множеств значений на этих двух промежутках.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x+3} - 1, x \in (-2; 1]$

График функции $y = \sqrt{x+3} - 1$ — это часть ветви параболы (график квадратного корня), полученная из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.
Начало "стандартной" ветви $y=\sqrt{x}$ в точке $(0,0)$ перемещается в точку $(-3, -1)$.
Функция является строго возрастающей на всей своей области определения, включая заданный промежуток $x \in (-2; 1]$.
Для построения графика и нахождения области значений найдем значения функции на границах этого промежутка.
На левой границе $x=-2$ (точка не включается в интервал, поэтому на графике будет выколотой): $y(-2) = \sqrt{-2+3} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 0$.
На правой границе $x=1$ (точка включается в интервал): $y(1) = \sqrt{1+3} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$.
График — это возрастающая кривая от выколотой точки $(-2, 0)$ до закрашенной точки $(1, 1)$.
Так как функция непрерывна и строго возрастает на промежутке $(-2; 1]$, ее область значений будет от $y(-2)$ (не включая) до $y(1)$ (включая).
Ответ: $E(y) = (0; 1]$.

г) $y = 2x^2 + 2x - 1, x \in [-1; 2]$

График функции $y = 2x^2 + 2x - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.
Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -0.5$.
Ордината вершины: $y_v = 2(-0.5)^2 + 2(-0.5) - 1 = 2(0.25) - 1 - 1 = 0.5 - 2 = -1.5$.
Вершина находится в точке $(-0.5, -1.5)$.
Функция рассматривается на отрезке $x \in [-1; 2]$. Для построения графика найдем значения функции на концах этого отрезка:
При $x = -1$: $y(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 2 - 2 - 1 = -1$.
При $x = 2$: $y(2) = 2(2)^2 + 2(2) - 1 = 2 \cdot 4 + 4 - 1 = 11$.
График представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-1, -1)$ и $(2, 11)$, проходящую через вершину $(-0.5, -1.5)$.
Для нахождения области значений найдем наименьшее и наибольшее значения функции. Абсцисса вершины $x_v=-0.5$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$, следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно ординате вершины: $y_{min} = -1.5$.
Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Сравнивая $y(-1)=-1$ и $y(2)=11$, получаем $y_{max} = 11$.
Таким образом, область значений функции — это все значения от $-1.5$ до $11$ включительно.
Ответ: $E(y) = [-1.5; 11]$.

7.22. Постройте график функции $y = f(x)$ и найдите область её определения и область её значений:

a) $f(x) = \begin{cases} 2 - x, & -3 \le x \le 1, \\ x^2, & 1 < x \le 2; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2, & -3 \le x \le 1, \\ 2 - x, & 1 < x \le 2. \end{cases}$

а) $f(x) = \begin{cases} 2 - x, & -3 \le x \le 1, \\ x^2, & 1 < x \le 2; \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим ее на каждом из двух заданных промежутков.

1. На промежутке $[-3, 1]$ функция задана формулой $y = 2 - x$. Графиком является отрезок прямой. Для его построения найдем координаты конечных точек:

• Если $x = -3$, то $y = 2 - (-3) = 5$. Точка $(-3, 5)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Обе точки включены, так как неравенства нестрогие.

2. На промежутке $(1, 2]$ функция задана формулой $y = x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем значения на границах промежутка:

• Если $x \to 1^+$, то $y \to 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ является "выколотой", так как $x > 1$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ включена в график.

Заметим, что в точке $x = 1$ первая часть графика заканчивается в точке $(1, 1)$, а вторая часть начинается из этой же точки. Следовательно, функция непрерывна в точке $x = 1$, и ее график является сплошной линией, состоящей из отрезка прямой и участка параболы.

Область определения $D(f)$. Она представляет собой объединение промежутков, на которых определена функция: $D(f) = [-3, 1] \cup (1, 2] = [-3, 2]$.

Область значений $E(f)$. Это множество всех принимаемых функцией значений $y$.

• На отрезке $[-3, 1]$ функция $y = 2 - x$ монотонно убывает. Ее значения лежат в пределах от $f(1) = 1$ до $f(-3) = 5$. Таким образом, здесь область значений — $[1, 5]$.
• На полуинтервале $(1, 2]$ функция $y = x^2$ монотонно возрастает. Ее значения лежат в пределах от $y \to 1$ (не включая) до $f(2) = 4$. Таким образом, здесь область значений — $(1, 4]$.

Общая область значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = [1, 5] \cup (1, 4] = [1, 5]$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-3, 2]$; область значений $E(f) = [1, 5]$.

б) $f(x) = \begin{cases} x^2, & -3 \le x \le 1, \\ 2 - x, & 1 < x \le 2; \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим ее на каждом из двух заданных промежутков.

1. На промежутке $[-3, 1]$ функция задана формулой $y = x^2$. Графиком является часть параболы. Найдем значения в характерных точках:

• Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3, 9)$.
• Вершина параболы находится в точке $x=0$, где $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Все эти точки включены, так как они лежат в отрезке $[-3, 1]$.

2. На промежутке $(1, 2]$ функция задана формулой $y = 2 - x$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:

• Если $x \to 1^+$, то $y \to 2 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$ является "выколотой", так как $x > 1$.
• Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$ включена в график.

Как и в предыдущем случае, функция непрерывна в точке $x=1$, так как значение первой части в этой точке совпадает с пределом второй части. График является сплошной линией.

Область определения $D(f)$. Она представляет собой объединение промежутков, на которых определена функция: $D(f) = [-3, 1] \cup (1, 2] = [-3, 2]$.

Область значений $E(f)$. Это множество всех принимаемых функцией значений $y$.

• На отрезке $[-3, 1]$ график функции $y = x^2$ — это дуга параболы, проходящая через минимум в точке $(0, 0)$ и концы в точках $(-3, 9)$ и $(1, 1)$. Наибольшее значение равно $f(-3)=9$, наименьшее — $f(0)=0$. Область значений здесь — $[0, 9]$.
• На полуинтервале $(1, 2]$ функция $y = 2 - x$ монотонно убывает. Ее значения лежат в пределах от $y \to 1$ (не включая) до $f(2) = 0$. Таким образом, здесь область значений — $[0, 1)$.

Общая область значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = [0, 9] \cup [0, 1) = [0, 9]$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-3, 2]$; область значений $E(f) = [0, 9]$.

Найдите область определения функции:

7.23. a) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$;

б) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

в) $y = \frac{x - 2}{x^2 - x - 12}$;

г) $y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 1 = 0$
Разложим на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -1$ и $x = 1$.
В виде интервалов это записывается как $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель $x^2 + 1$ не равен нулю.
Рассмотрим выражение в знаменателе. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$.
Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{x - 2}{x^2 - x - 12}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение:
$x^2 - x - 12 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3$
Таким образом, функция не определена при $x = -3$ и $x = 4$.
Область определения — это все действительные числа, кроме -3 и 4.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Проверим, может ли знаменатель $x^2 + x + 12$ быть равен нулю. Для этого решим уравнение:
$x^2 + x + 12 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Это означает, что знаменатель $x^2 + x + 12$ никогда не равен нулю (он всегда положителен, так как ветви параболы $y=x^2+x+12$ направлены вверх, а вершина находится выше оси абсцисс).
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

7.24. a) $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x-12}{x^2-16x+48}}$;

в) $y = \sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$;

г) $y = \sqrt{\frac{x+11}{x^2+14x+33}}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x}{x-1} \ge 0$.

Для решения этого рационального неравенства используем метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x = 0$.

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Наносим точки $0$ и $1$ на числовую ось. Точка $x=0$ является решением (неравенство нестрогое), а точка $x=1$ не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю. Определяем знаки дроби на полученных интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

При $x > 1$ (например, $x=2$) дробь $\frac{+}{+}$ положительна.

При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$) дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна.

При $x < 0$ (например, $x=-1$) дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

Нам нужны интервалы, где выражение неотрицательно. Это $(-\infty; 0]$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup (1; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-12}{x^2 - 16x + 48}}$ задается неравенством $\frac{x-12}{x^2 - 16x + 48} \ge 0$.

Сначала разложим знаменатель на множители. Решим квадратное уравнение $x^2 - 16x + 48 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 12$. Таким образом, $x^2 - 16x + 48 = (x-4)(x-12)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x-12}{(x-4)(x-12)} \ge 0$.

Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \ne 4$ и $x \ne 12$. Так как $x=12$ обращает в ноль знаменатель, эту точку нужно исключить. При $x \ne 12$ мы можем сократить дробь на $(x-12)$.

Получаем неравенство $\frac{1}{x-4} > 0$. Оно строгое, так как мы исключили случай $x=12$, при котором числитель исходной дроби равен нулю. Так как числитель $1$ положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был также положителен: $x-4 > 0$, откуда $x > 4$.

Объединяя условия $x > 4$ и $x \ne 12$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (4; 12) \cup (12; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$ задается неравенством $\frac{-4x}{-10-x} \ge 0$.

Умножим числитель и знаменатель на $-1$. Знак дроби от этого не изменится: $\frac{4x}{10+x} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $4x = 0 \implies x = 0$.

Нуль знаменателя: $10 + x = 0 \implies x = -10$.

Наносим точки $-10$ и $0$ на числовую ось. Точка $x=0$ включается в решение, точка $x=-10$ исключается (знаменатель не равен нулю).

Определяем знаки дроби на интервалах $(-\infty; -10)$, $(-10; 0)$, $(0; +\infty)$.

При $x > 0$ (например, $x=1$) дробь $\frac{+}{+}$ положительна.

При $-10 < x < 0$ (например, $x=-1$) дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна.

При $x < -10$ (например, $x=-11$) дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно: $(-\infty; -10)$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup [0; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33}}$ задается неравенством $\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33} \ge 0$.

Разложим знаменатель на множители. Решим уравнение $x^2 + 14x + 33 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -11$. Таким образом, $x^2 + 14x + 33 = (x+3)(x+11)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x+11}{(x+3)(x+11)} \ge 0$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne -3$ и $x \ne -11$. Поскольку $x=-11$ является нулем знаменателя, эту точку необходимо исключить. При $x \ne -11$ можно сократить дробь на $(x+11)$.

Получаем неравенство $\frac{1}{x+3} > 0$. Так как числитель $1$ положителен, знаменатель также должен быть положителен: $x+3 > 0$, откуда $x > -3$.

Решение $x > -3$ автоматически удовлетворяет условиям $x \ne -3$ и $x \ne -11$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

7.25. a) $y = \frac{\sqrt{x - 12}}{x^2 - 1};$

Б) $y = \frac{1 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 9}};$

В) $y = \frac{\sqrt{x + 12}}{x^2 - 1};$

Г) $y = \frac{x - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 3}}.$

а)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x - 12}}{x^2 - 1}$ находится из системы условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как корень четной степени извлекается только из неотрицательных чисел.
$x - 12 \ge 0$
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x^2 - 1 \neq 0$

Решим первое неравенство:
$x - 12 \ge 0 \implies x \ge 12$.
Это соответствует промежутку $[12, +\infty)$.

Решим второе условие:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств. Точки $x = 1$ и $x = -1$ не входят в промежуток $[12, +\infty)$, поэтому второе условие не накладывает дополнительных ограничений на решение первого неравенства.

Ответ: $D(y) = [12, +\infty)$.

б)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{1 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 9}}$ составим систему условий:
1. Выражение под первым квадратным корнем неотрицательно:
$-x^2 - 7x + 8 \ge 0$
2. Выражение под вторым квадратным корнем неотрицательно:
$x + 9 \ge 0$
3. Знаменатель не равен нулю:
$1 + \sqrt{x + 9} \neq 0$

Решим первое неравенство:
$-x^2 - 7x + 8 \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$x^2 + 7x - 8 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.
Так как ветви параболы $y=x^2 + 7x - 8$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 7x - 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-8, 1]$.

Решим второе неравенство:
$x + 9 \ge 0 \implies x \ge -9$.

Рассмотрим третье условие. Так как $\sqrt{x+9} \ge 0$, то $1 + \sqrt{x+9} \ge 1$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль. Это условие выполняется для всех $x$, для которых определен $\sqrt{x+9}$.

Найдем пересечение решений первого и второго неравенств: $x \in [-8, 1]$ и $x \ge -9$.
Пересечением является отрезок $[-8, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-8, 1]$.

в)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x + 12}}{x^2 - 1}$ находится из системы условий:
1. $x + 12 \ge 0$
2. $x^2 - 1 \neq 0$

Решим первое неравенство:
$x + 12 \ge 0 \implies x \ge -12$.
Это соответствует промежутку $[-12, +\infty)$.

Решим второе условие:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь необходимо исключить точки $x = 1$ и $x = -1$ из промежутка $[-12, +\infty)$. Обе точки принадлежат этому промежутку.
Таким образом, получаем объединение интервалов.

Ответ: $D(y) = [-12, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

г)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{x - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 3}}$ составим систему условий:
1. $-x^2 - 7x + 8 \ge 0$
2. $x + 3 \ge 0$
3. $1 + \sqrt{x + 3} \neq 0$

Решение первого неравенства (аналогично пункту б)):
$x \in [-8, 1]$.

Решим второе неравенство:
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Третье условие $1 + \sqrt{x + 3} \neq 0$ выполняется всегда, так как $1 + \sqrt{x+3} \ge 1$.

Найдем пересечение решений первого и второго неравенств: $x \in [-8, 1]$ и $x \ge -3$.
Пересечением является отрезок $[-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 1]$.

7.26. a) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x > 1, \\ x^3, & x \le 1; \end{cases}$

В) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 1, \\ x^3, & x \ge 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x \ge -1, \\ \frac{18}{2-x}, & x < -1; \end{cases}$

Г) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x < -1, \\ \frac{18}{2-x}, & x \ge -1. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x > 1 \\ x^3, & x \le 1 \end{cases}$

Для исследования функции на непрерывность необходимо проверить ее поведение в каждой точке области определения. Функция $y = x^3$ является степенной и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, она непрерывна и на промежутке $(-\infty, 1]$. Функция $y = \frac{1}{x}$ является дробно-рациональной и непрерывна везде, кроме точки $x=0$, где знаменатель обращается в ноль. На промежутке $(1, +\infty)$ точка $x=0$ не лежит, поэтому на этом промежутке функция непрерывна.

Единственная точка, в которой непрерывность может быть нарушена — это точка $x=1$, где меняется аналитическое выражение функции. Проверим непрерывность в этой точке. Согласно определению, функция непрерывна в точке $x=a$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Это равносильно выполнению трех условий:
1. Функция определена в точке $x=1$.
2. Существуют и равны односторонние пределы: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$.
3. Значение пределов равно значению функции в точке.

1. Найдем значение функции в точке $x=1$. При $x \le 1$ функция задается формулой $y = x^3$. Следовательно, $f(1) = 1^3 = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x=1$:
Предел слева (при $x \to 1^-$): $f(x) = x^3$, поэтому $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^3 = 1^3 = 1$.
Предел справа (при $x \to 1^+$): $f(x) = \frac{1}{x}$, поэтому $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.

3. Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу ($1=1$), то предел функции в точке $x=1$ существует и равен 1. Это значение совпадает со значением функции в точке $f(1)=1$.

Все условия непрерывности в точке $x=1$ выполнены. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

б) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x \ge -1 \\ \frac{18}{2-x}, & x < -1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность данную кусочно-заданную функцию. Функция $y = \frac{6x}{x+7}$ является дробно-рациональной. Она непрерывна на всей своей области определения, то есть при $x \ne -7$. На заданном промежутке $x \ge -1$ точка разрыва $x=-7$ не лежит, следовательно, на промежутке $[-1, +\infty)$ функция непрерывна. Функция $y = \frac{18}{2-x}$ также является дробно-рациональной. Она непрерывна везде, кроме точки $x=2$. На заданном промежутке $x < -1$ точка разрыва $x=2$ не лежит, следовательно, на промежутке $(-\infty, -1)$ функция непрерывна.

Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=-1$.

1. Значение функции в точке $x=-1$. При $x \ge -1$ функция задается формулой $y = \frac{6x}{x+7}$. $f(-1) = \frac{6(-1)}{-1+7} = \frac{-6}{6} = -1$.

2. Односторонние пределы в точке $x=-1$:
Предел слева (при $x \to -1^-$): $f(x) = \frac{18}{2-x}$, поэтому $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{18}{2-x} = \frac{18}{2-(-1)} = \frac{18}{3} = 6$.
Предел справа (при $x \to -1^+$): $f(x) = \frac{6x}{x+7}$, поэтому $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{6x}{x+7} = \frac{6(-1)}{-1+7} = \frac{-6}{6} = -1$.

3. Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($6 \ne -1$), предел функции в точке $x=-1$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=-1$. Поскольку односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|6 - (-1)| = 7$.

Ответ: функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=-1$. На промежутках $(-\infty, -1)$ и $[-1, +\infty)$ функция непрерывна.

в) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 1 \\ x^3, & x \ge 1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность данную функцию. Функция $y = \frac{1}{x}$ является дробно-рациональной и имеет разрыв в точке $x=0$. Эта точка принадлежит промежутку $x < 1$. Найдем односторонние пределы в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$, $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$. Так как пределы бесконечны, в точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв). Функция $y = x^3$ непрерывна на всей числовой прямой, а значит и на промежутке $[1, +\infty)$.

Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$.

1. Значение функции в точке $x=1$. При $x \ge 1$ функция задается формулой $y = x^3$. $f(1) = 1^3 = 1$.

2. Односторонние пределы в точке $x=1$:
Предел слева (при $x \to 1^-$): $f(x) = \frac{1}{x}$, поэтому $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.
Предел справа (при $x \to 1^+$): $f(x) = x^3$, поэтому $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^3 = 1^3 = 1$.

3. Так как $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$, функция непрерывна в точке $x=1$.

Таким образом, единственной точкой разрыва является точка $x=0$.

Ответ: функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв) в точке $x=0$. На промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$ функция непрерывна.

г) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x < -1 \\ \frac{18}{2-x}, & x \ge -1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность данную функцию. Функция $y = \frac{6x}{x+7}$ имеет разрыв в точке $x=-7$. Эта точка принадлежит промежутку $x < -1$. Так как $\lim_{x \to -7} \frac{6x}{x+7} = \infty$, в точке $x=-7$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв). Функция $y = \frac{18}{2-x}$ имеет разрыв в точке $x=2$. Эта точка принадлежит промежутку $x \ge -1$. Так как $\lim_{x \to 2} \frac{18}{2-x} = \infty$, в точке $x=2$ функция также имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=-1$.

1. Значение функции в точке $x=-1$. При $x \ge -1$ функция задается формулой $y = \frac{18}{2-x}$. $f(-1) = \frac{18}{2-(-1)} = \frac{18}{3} = 6$.

2. Односторонние пределы в точке $x=-1$:
Предел слева (при $x \to -1^-$): $f(x) = \frac{6x}{x+7}$, поэтому $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{6x}{x+7} = \frac{6(-1)}{-1+7} = \frac{-6}{6} = -1$.
Предел справа (при $x \to -1^+$): $f(x) = \frac{18}{2-x}$, поэтому $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{18}{2-x} = \frac{18}{2-(-1)} = \frac{18}{3} = 6$.

3. Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($-1 \ne 6$), функция имеет разрыв в точке $x=-1$. Это разрыв первого рода (скачок).

Таким образом, функция имеет три точки разрыва.

Ответ: функция имеет разрывы в точках $x=-7$ (разрыв второго рода), $x=-1$ (разрыв первого рода, скачок) и $x=2$ (разрыв второго рода).

7.27. Пусть $f(x) = -3x + 2$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $f(x + 5)$;

в) $f(f(1))$;

г) $f(f(x))$.

Дана функция $f(x) = -3x + 2$.

а) $f(-x)$

Чтобы найти $f(-x)$, нужно в выражение для функции $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставить $-x$.

$f(-x) = -3(-x) + 2 = 3x + 2$.

Ответ: $3x + 2$.

б) $f(x + 5)$

Чтобы найти $f(x+5)$, нужно в выражение для функции $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставить $(x+5)$.

$f(x+5) = -3(x+5) + 2$.

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$-3(x+5) + 2 = -3x - 15 + 2 = -3x - 13$.

Ответ: $-3x - 13$.

в) $f(f(1))$

Это сложная функция. Сначала найдем значение внутренней функции $f(1)$, подставив $x=1$ в исходное выражение.

$f(1) = -3(1) + 2 = -3 + 2 = -1$.

Теперь найдем значение внешней функции от полученного результата. Это значит, что нам нужно вычислить $f(-1)$.

$f(f(1)) = f(-1) = -3(-1) + 2 = 3 + 2 = 5$.

Ответ: $5$.

г) $f(f(x))$

Чтобы найти $f(f(x))$, нужно в выражение для функции $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставить само выражение $f(x)$, то есть $(-3x+2)$.

$f(f(x)) = f(-3x + 2) = -3(-3x + 2) + 2$.

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$-3(-3x + 2) + 2 = 9x - 6 + 2 = 9x - 4$.

Ответ: $9x - 4$.

7.28. Пусть $f(x) = x^2$. Найдите:

а) $f(2x)$;

б) $f(x - 5)$;

в) $f(f(3))$;

г) $f(f(x))$.

По условию задачи дана функция $f(x) = x^2$. Для нахождения значений функции от различных аргументов, необходимо подставить этот аргумент в формулу функции вместо $x$.

а) Чтобы найти $f(2x)$, подставим в выражение $f(x) = x^2$ вместо $x$ выражение $2x$.

$f(2x) = (2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$.

Ответ: $4x^2$.

б) Чтобы найти $f(x-5)$, подставим в выражение $f(x) = x^2$ вместо $x$ выражение $(x-5)$.

$f(x-5) = (x-5)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.

Ответ: $x^2 - 10x + 25$.

в) Чтобы найти значение сложной функции $f(f(3))$, сначала вычислим значение внутренней функции $f(3)$.

$f(3) = 3^2 = 9$.

Теперь подставим полученный результат ($9$) в качестве аргумента во внешнюю функцию $f$:

$f(f(3)) = f(9) = 9^2 = 81$.

Ответ: $81$.

г) Чтобы найти $f(f(x))$, мы должны подставить саму функцию $f(x)$ в качестве аргумента в эту же функцию. Это называется композицией функций.

$f(f(x)) = f(x^2)$.

Теперь, согласно определению функции $f$, мы должны возвести в квадрат ее аргумент, которым в данном случае является $x^2$:

$f(x^2) = (x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.

Ответ: $x^4$.

7.29. Пусть $f(x) = \frac{3x+2}{x-2}$. Найдите:

а) $f\left(\frac{1}{x}\right)$;

б) $f(2x - 1)$;

в) $f(f(5))$;

г) $f(f(x))$.

а) Чтобы найти $f(\frac{1}{x})$, необходимо подставить выражение $\frac{1}{x}$ вместо переменной $x$ в формулу функции $f(x) = \frac{3x + 2}{x - 2}$.
$f(\frac{1}{x}) = \frac{3(\frac{1}{x}) + 2}{(\frac{1}{x}) - 2}$
Теперь упростим полученное многоэтажное дробное выражение. Для этого приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
$f(\frac{1}{x}) = \frac{\frac{3}{x} + \frac{2x}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{2x}{x}} = \frac{\frac{3 + 2x}{x}}{\frac{1 - 2x}{x}}$
Сократим общий знаменатель $x$ (при условии, что $x \ne 0$):
$f(\frac{1}{x}) = \frac{3 + 2x}{1 - 2x}$
Ответ: $\frac{2x + 3}{1 - 2x}$.

б) Чтобы найти $f(2x - 1)$, подставим выражение $2x - 1$ вместо переменной $x$ в исходную функцию:
$f(2x - 1) = \frac{3(2x - 1) + 2}{(2x - 1) - 2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе и знаменателе:
$f(2x - 1) = \frac{6x - 3 + 2}{2x - 1 - 2} = \frac{6x - 1}{2x - 3}$
Ответ: $\frac{6x - 1}{2x - 3}$.

в) Выражение $f(f(5))$ представляет собой композицию функций. Сначала найдем значение внутренней функции $f(5)$:
$f(5) = \frac{3(5) + 2}{5 - 2} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3}$
Теперь найденное значение $\frac{17}{3}$ подставим в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(f(5)) = f(\frac{17}{3}) = \frac{3(\frac{17}{3}) + 2}{\frac{17}{3} - 2}$
Упростим полученное выражение:
$f(\frac{17}{3}) = \frac{17 + 2}{\frac{17}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{19}{\frac{11}{3}} = 19 \cdot \frac{3}{11} = \frac{57}{11}$
Ответ: $\frac{57}{11}$.

г) Чтобы найти $f(f(x))$, подставим в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ саму функцию $f(x)=\frac{3x+2}{x-2}$:
$f(f(x)) = f\left(\frac{3x + 2}{x - 2}\right) = \frac{3\left(\frac{3x + 2}{x - 2}\right) + 2}{\left(\frac{3x + 2}{x - 2}\right) - 2}$
Приведем к общему знаменателю $(x-2)$ выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
$f(f(x)) = \frac{\frac{3(3x + 2) + 2(x - 2)}{x - 2}}{\frac{(3x + 2) - 2(x - 2)}{x - 2}}$
Раскроем скобки и упростим выражения в числителе и знаменателе:
$f(f(x)) = \frac{\frac{9x + 6 + 2x - 4}{x - 2}}{\frac{3x + 2 - 2x + 4}{x - 2}} = \frac{\frac{11x + 2}{x - 2}}{\frac{x + 6}{x - 2}}$
Сократим общий знаменатель $(x-2)$:
$f(f(x)) = \frac{11x + 2}{x + 6}$
Ответ: $\frac{11x + 2}{x + 6}$.