Страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.13. а) $y = 2x^2;$

б) $y = -\frac{3}{x};$

в) $y = -0,5x^2;$

г) $y = \frac{2}{x}.$

а) $y = 2x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = 2$. Графиком функции является парабола.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, и коэффициент $a = 2 > 0$, то $y = 2x^2 \ge 0$. Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
4. Свойства графика:
   • Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   • Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • График функции получается из графика параболы $y=x^2$ путем его растяжения вдоль оси OY в 2 раза.

Ответ: Функция $y = 2x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$. Функция является четной.

б) $y = -\frac{3}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -3$. Графиком функции является гипербола.

1. Область определения: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: Выражение $\frac{k}{x}$ (при $k \ne 0$) никогда не может быть равным нулю. Следовательно, $y \ne 0$. Область значений функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -\frac{3}{-x} = \frac{3}{x} = -(-\frac{3}{x}) = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
4. Свойства графика:
   • График состоит из двух ветвей.
   • Так как коэффициент $k=-3 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
   • Оси координат являются асимптотами графика: ось ОХ (уравнение $y=0$) — горизонтальная асимптота, ось ОY (уравнение $x=0$) — вертикальная асимптота.

Ответ: Функция $y = -\frac{3}{x}$ — это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Область определения — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является нечетной.

в) $y = -0,5x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = -0,5$. Графиком функции является парабола.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Поскольку $x^2 \ge 0$, а коэффициент $a = -0,5 < 0$, то $y = -0,5x^2 \le 0$. Следовательно, область значений функции $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -0,5(-x)^2 = -0,5x^2 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
4. Свойства графика:
   • Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   • Так как коэффициент $a=-0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
   • График функции получается из графика параболы $y=x^2$ путем его сжатия к оси ОХ в 2 раза и последующего зеркального отражения относительно оси ОХ.

Ответ: Функция $y = -0,5x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$. Функция является четной.

г) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 2$. Графиком функции является гипербола.

1. Область определения: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: Выражение $\frac{k}{x}$ (при $k \ne 0$) никогда не может быть равным нулю. Следовательно, $y \ne 0$. Область значений функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
4. Свойства графика:
   • График состоит из двух ветвей.
   • Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
   • Оси координат являются асимптотами графика: ось ОХ (уравнение $y=0$) — горизонтальная асимптота, ось ОY (уравнение $x=0$) — вертикальная асимптота.

Ответ: Функция $y = \frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола с ветвями в I и III четвертях. Область определения — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является нечетной.

7.14. а) $y = x^2 - 4$;

б) $y = (x - 1)^2$;

В) $y = 2x^2 + 1$;

Г) $y = -(x + 2)^2$.

а) Функция $y = x^2 - 4$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика основной параболы $y = x^2$ путем смещения на 4 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам $x_0 = -b/(2a)$ и $y_0 = y(x_0)$. Для функции $y = x^2 - 4$, коэффициенты $a=1, b=0, c=-4$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot 1) = 0$.
$y_0 = 0^2 - 4 = -4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = 0$ (ось $Oy$).
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка пересечения — $(0, -4)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
Ответ: График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -4)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x = 0$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$; с осью $Oy$: $(0, -4)$.

б) Функция $y = (x - 1)^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика основной параболы $y = x^2$ путем смещения на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).
1. Направление ветвей. Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Из вида функции $y = (x - 1)^2 + 0$ следует, что вершина находится в точке $(h, k)$, то есть $(1, 0)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = h$, то есть $x = 1$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = (0 - 1)^2 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка пересечения — $(1, 0)$, что совпадает с вершиной.
Ответ: График функции $y = (x - 1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x = 1$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$; с осью $Oy$: $(0, 1)$.

в) Функция $y = 2x^2 + 1$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика $y = x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза и смещения на 1 единицу вверх.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Поскольку $|a| > 1$, парабола "уже" (более вытянута), чем $y=x^2$.
2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$. Для функции $y = 2x^2 + 1$, коэффициенты $a=2, b=0, c=1$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot 2) = 0$.
$y_0 = 2(0)^2 + 1 = 1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = 0$ (ось $Oy$).
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2(0)^2 + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $2x^2 + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 = -1 \Rightarrow x^2 = -1/2$. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.
Ответ: График функции $y = 2x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x = 0$. Точек пересечения с осью $Ox$ нет, точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 1)$.

г) Функция $y = -(x + 2)^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика $y = x^2$ путем смещения на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$ и последующего отражения относительно оси $Ox$.
1. Направление ветвей. Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы. Функцию можно записать как $y = -1(x - (-2))^2 + 0$. Отсюда следует, что вершина находится в точке $(h, k)$, то есть $(-2, 0)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = h$, то есть $x = -2$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -(0 + 2)^2 = -4$. Точка пересечения — $(0, -4)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $-(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения — $(-2, 0)$, что совпадает с вершиной.
Ответ: График функции $y = -(x + 2)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Ось симметрии — прямая $x = -2$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$; с осью $Oy$: $(0, -4)$.

7.15. a) $y = x^2 - 6x + 8;$

Б) $y = -x^2 + 2x + 3;$

В) $y = x^2 + 4x + 7;$

Г) $y = -2x^2 - 6x + 1.$

а) $y = x^2 - 6x + 8$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=1$, $b=-6$, $c=8$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для нахождения координат вершины параболы $(x_0, y_0)$ воспользуемся формулой для абсциссы вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = 3$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(3, -1)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(3, -1)$, ветви направлены вверх.

б) $y = -x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=-1$, $b=2$, $c=3$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = 1$ в уравнение функции:

$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(1, 4)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(1, 4)$, ветви направлены вниз.

в) $y = x^2 + 4x + 7$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=7$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = -2$ в уравнение функции:

$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, 3)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(-2, 3)$, ветви направлены вверх.

г) $y = -2x^2 - 6x + 1$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=-2$, $b=-6$, $c=1$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = -1.5$ в уравнение функции:

$y_0 = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) + 1 = -2(2.25) + 9 + 1 = -4.5 + 10 = 5.5$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-1.5, 5.5)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(-1.5, 5.5)$, ветви направлены вниз.

7.16. а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sqrt{x} + 2$;

в) $y = \sqrt{x - 1}$;

г) $y = \sqrt{x + 2} - 4$.

а) $y = \sqrt{x}$

Для функции $y = \sqrt{x}$ необходимо найти область определения и область значений.

Область определения (D(y)):
Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю. $x \ge 0$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения. $\sqrt{x} \ge 0$
Следовательно, $y \ge 0$. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x} + 2$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения (D(y)):
Область определения зависит только от выражения под корнем. Как и в предыдущем случае: $x \ge 0$
Область определения не изменяется: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Мы знаем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Чтобы найти область значений для $y$, прибавим 2 к обеим частям этого неравенства: $\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2$
$y \ge 2$
Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.
(График этой функции получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy).

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; Область значений $E(y) = [2; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x - 1}$

Данная функция также является преобразованием базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [1; +\infty)$.
(График этой функции получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox).

Область значений (E(y)):
Значение квадратного корня всегда неотрицательно: $\sqrt{x - 1} \ge 0$
Следовательно, $y \ge 0$. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [1; +\infty)$; Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{x + 2} - 4$

Эта функция представляет собой комбинацию сдвигов базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения (D(y)):
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$
$x \ge -2$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Мы знаем, что $\sqrt{x + 2} \ge 0$. Чтобы найти область значений для $y$, вычтем 4 из обеих частей неравенства: $\sqrt{x + 2} - 4 \ge 0 - 4$
$y \ge -4$
Область значений функции: $E(y) = [-4; +\infty)$.
(График этой функции получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вниз по оси Oy).

Ответ: Область определения $D(y) = [-2; +\infty)$; Область значений $E(y) = [-4; +\infty)$.

7.17. a) $y = \frac{2}{x};$

В) $y = \frac{2}{x} + 3;$

б) $y = \frac{2}{x - 1};$

Г) $y = \frac{2}{x - 1} + 3.$

a) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Она является базовой для остальных функций в этом задании.

1. Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Так как числитель $2$ не равен нулю, значение дроби никогда не будет равно нулю. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

График расположен в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=2 > 0$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

б) $y = \frac{2}{x-1}$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

1. Область определения: Знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений: Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты: Асимптоты также смещаются вместе с графиком.

• Вертикальная асимптота: $x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

в) $y = \frac{2}{x} + 3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения: Остается такой же, как у базовой функции, так как знаменатель не изменился: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Каждое значение функции $y = \frac{2}{x}$ увеличивается на 3. Так как $\frac{2}{x} \neq 0$, то $y \neq 3$. $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Горизонтальная асимптота смещается вверх на 3 единицы: $y = 3$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=3$.

г) $y = \frac{2}{x-1} + 3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ путем двух параллельных переносов: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения: Знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений: Функция $y = \frac{2}{x-1}$ принимает все значения, кроме 0. Следовательно, функция $y = \frac{2}{x-1} + 3$ принимает все значения, кроме 3. $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Асимптоты: Асимптоты смещаются соответственно сдвигам графика.

• Вертикальная асимптота: $x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=3$.

7.18. a) $y = |x|;$

б) $y = |x + 2|;$

В) $y = |x| - 3;$

Г) $y = |x - 1| + 2.$

а) $y = |x|$

Это основная функция модуля. Её график строится по определению модуля: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Таким образом, график состоит из двух частей:
1. Прямая $y = x$ для неотрицательных значений $x$ (биссектриса первого координатного угла).
2. Прямая $y = -x$ для отрицательных значений $x$ (биссектриса второго координатного угла).
График представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат.

Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Вершина графика (точка излома) находится в точке $(0; 0)$.
- Ось симметрии: ось OY ($x = 0$).
- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x|$ — это график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0;0)$: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина в $(0;0)$, ось симметрии $x=0$.

б) $y = |x + 2|$

Этот график можно получить из графика основной функции $y = |x|$ с помощью геометрических преобразований. Функция имеет вид $y = f(x+a)$, где $f(x) = |x|$ и $a = 2$. Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси OX на $a$ единиц влево, если $a > 0$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = |x + 2|$, нужно сдвинуть график функции $y = |x|$ на 2 единицы влево вдоль оси OX.

Свойства функции:
- Вершина графика смещается из точки $(0; 0)$ в точку $(-2; 0)$.
- Ось симметрии смещается с $x = 0$ на $x = -2$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на 2 единицы влево. Вершина в точке $(-2;0)$, ось симметрии $x=-2$.

в) $y = |x| - 3$

Этот график также получается из графика функции $y = |x|$ с помощью преобразования. Функция имеет вид $y = f(x) + b$, где $f(x) = |x|$ и $b = -3$. Преобразование $f(x) \to f(x) + b$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси OY на $|b|$ единиц вниз, если $b < 0$.

В данном случае $b = -3$, поэтому для построения графика функции $y = |x| - 3$ нужно сдвинуть график функции $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

Свойства функции:
- Вершина графика смещается из точки $(0; 0)$ в точку $(0; -3)$.
- Ось симметрии остается прежней: $x = 0$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений смещается вниз на 3: $E(y) = [-3; +\infty)$.
- Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x|-3$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на 3 единицы вниз. Вершина в точке $(0;-3)$, ось симметрии $x=0$.

г) $y = |x - 1| + 2$

Этот график получается из графика функции $y = |x|$ путем последовательного применения двух преобразований. Функция имеет вид $y = f(x-a) + b$, где $f(x) = |x|$, $a=1$ и $b=2$.

1. Сначала выполним сдвиг по оси OX. Преобразование $y = |x| \to y = |x-1|$ соответствует сдвигу графика на 1 единицу вправо вдоль оси OX.
2. Затем выполним сдвиг по оси OY. Преобразование $y = |x-1| \to y = |x-1| + 2$ соответствует сдвигу графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = |x - 1| + 2$, нужно сдвинуть график $y = |x|$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

Свойства функции:
- Вершина графика смещается из точки $(0; 0)$ в точку $(1; 2)$.
- Ось симметрии смещается с $x = 0$ на $x = 1$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений смещается вверх на 2: $E(y) = [2; +\infty)$.
- Функция убывает на $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x-1|+2$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на 1 единицу вправо и 2 единицы вверх. Вершина в точке $(1;2)$, ось симметрии $x=1$.

7.19. a) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = |\sqrt[3]{x} - 1|$.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.

   Функция кубического корня определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений.

   Функция может принимать любые действительные значения. Следовательно, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность и нечетность.

   Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (0,0).

4. Точки пересечения с осями координат.

   При $x=0$, $y=\sqrt[3]{0}=0$. Точка пересечения с осью Oy — (0,0).

   При $y=0$, $\sqrt[3]{x}=0$, откуда $x=0$. Точка пересечения с осью Ox — (0,0).

   График проходит через начало координат.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Найдем первую производную: $y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

   Производная $y' > 0$ для всех $x \neq 0$. В точке $x=0$ производная не определена (касательная к графику в этой точке вертикальна). Так как производная положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Экстремумов у функции нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$.

   При $x>0$, $y'' < 0$, следовательно, график функции является вогнутым (или выпуклым вверх).

   При $x<0$, $y'' > 0$, следовательно, график функции является выпуклым (или выпуклым вниз).

   В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, точка (0,0) является точкой перегиба.

7. Построение графика.

   Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

   • $x=-8, y=-2$
   • $x=-1, y=-1$
   • $x=0, y=0$
   • $x=1, y=1$
   • $x=8, y=2$

   На основе проведенного анализа можно построить график. Он будет проходить через начало координат, симметрично относительно него, и будет постоянно возрастать, изгибаясь вниз при $x<0$ и вверх при $x>0$.

Ответ: Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является нечетной, возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. При $x<0$ график выпуклый (выпуклый вниз), а при $x>0$ — вогнутый (выпуклый вверх).

б) $y = |\sqrt[3]{x} - 1|$

Проведем исследование функции. Ее график можно получить из графика функции $y=\sqrt[3]{x}$ с помощью геометрических преобразований: сначала сдвигом на 1 единицу вниз, а затем отражением части графика, находящейся под осью абсцисс, в верхнюю полуплоскость.

1. Область определения.

   Подкоренное выражение кубического корня может быть любым, поэтому функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений.

   Так как функция представляет собой абсолютную величину (модуль), ее значения всегда неотрицательны, т.е. $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается при $\sqrt[3]{x}-1=0$, то есть при $x=1$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Четность и нечетность.

   Найдем $y(-x) = |\sqrt[3]{-x} - 1| = |-\sqrt[3]{x} - 1| = |\sqrt[3]{x} + 1|$.

   Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Точки пересечения с осями координат.

   При $x=0$, $y=|\sqrt[3]{0}-1| = |-1| = 1$. Точка пересечения с осью Oy — (0,1).

   При $y=0$, $|\sqrt[3]{x}-1|=0$, откуда $\sqrt[3]{x}=1$, $x=1$. Точка пересечения с осью Ox — (1,0).

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

   $y(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{x} - 1, & \text{если } \sqrt[3]{x} - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ -(\sqrt[3]{x} - 1) = 1 - \sqrt[3]{x}, & \text{если } \sqrt[3]{x} - 1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

   Найдем производную для каждого интервала:

   $y'(x) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, & \text{если } x > 1 \\ -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, & \text{если } x < 1, x \neq 0 \end{cases}$

   На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

   На интервале $(1; +\infty)$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

   В точке $x=1$ производная не существует (левосторонняя производная $y'_-(1) = -1/3$, а правосторонняя $y'_+(1) = 1/3$). Так как при переходе через точку $x=1$ производная меняет знак с «–» на «+», то $x=1$ — точка минимума. $y_{min} = y(1) = 0$. Точка (1,0) является точкой излома графика.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости.

   Найдем вторую производную:

   $y''(x) = \begin{cases} -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}, & \text{если } x > 1 \\ \frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}, & \text{если } x < 1, x \neq 0 \end{cases}$

   При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график вогнутый (выпуклый вверх).

   При $x \in (0; 1)$, $y'' > 0$, график выпуклый (выпуклый вниз).

   При $x \in (1; +\infty)$, $y'' < 0$, график вогнутый (выпуклый вверх).

   Точка $(0,1)$ является точкой перегиба (с вертикальной касательной).

7. Ключевые точки для построения графика:

   • $x=-8, y=|\sqrt[3]{-8}-1|=|-2-1|=3$
   • $x=-1, y=|\sqrt[3]{-1}-1|=|-1-1|=2$
   • $x=0, y=1$ (пересечение с Oy, точка перегиба)
   • $x=1, y=0$ (пересечение с Ox, точка минимума)
   • $x=8, y=|\sqrt[3]{8}-1|=|2-1|=1$

Ответ: Функция $y = |\sqrt[3]{x} - 1|$ определена на всей числовой оси, область значений $E(y)=[0; +\infty)$. Функция не является ни четной, ни нечетной. Убывает на интервале $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; +\infty)$. Точка минимума — $(1,0)$, которая является точкой излома. График пересекает ось Oy в точке $(0,1)$, которая является точкой перегиба. График вогнутый на $(-\infty;0)$ и $(1;+\infty)$, и выпуклый на $(0;1)$.

7.20. а) Воспользовавшись тем, что

$\frac{x - 5}{2x + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) - 6}{x + 1} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{6}{x + 1}\right) = \frac{-3}{x + 1} + \frac{1}{2}$,

постройте график функции $y = \frac{x - 5}{2x + 2}$. Напишите уравнения асимптот полученной гиперболы.

б) Функцию $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, где $c \ne 0$, $\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}$, называют дробно-линейной функцией. Докажите, что графиком дробно-линейной функции является гипербола с асимптотами $x = -\frac{d}{c}$, $y = \frac{a}{c}$.

а) Чтобы построить график функции $y = \frac{x-5}{2x+2}$, воспользуемся преобразованием, указанным в условии, которое приводит функцию к виду, удобному для построения: $y = \frac{x-5}{2x+2} = \frac{-3}{x+1} + \frac{1}{2}$. Это уравнение является уравнением гиперболы, которое можно получить из графика базовой гиперболы $y = \frac{k}{x}$ с помощью последовательных геометрических преобразований.

Процесс построения графика выглядит следующим образом:
1. Начинаем с графика основной гиперболы $y = \frac{-3}{x}$. Так как коэффициент $k = -3$ отрицателен, ветви этой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
2. Далее выполняем сдвиг графика $y = \frac{-3}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $(x+1)$ и дает нам график функции $y = \frac{-3}{x+1}$. При этом вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-1$.
3. Наконец, выполняем сдвиг полученного графика на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует добавлению $\frac{1}{2}$ к функции и дает нам искомый график функции $y = \frac{-3}{x+1} + \frac{1}{2}$. При этом горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=\frac{1}{2}$.

Таким образом, график функции $y = \frac{x-5}{2x+2}$ — это гипербола с центром симметрии в точке $(-1; \frac{1}{2})$.
Уравнения асимптот можно найти непосредственно из преобразованного вида функции. Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x+1=0$, то есть $x=-1$. Горизонтальная асимптота соответствует значению, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$, что равно свободному члену: $y=\frac{1}{2}$.
Ответ: График функции является гиперболой, полученной из графика $y = -3/x$ сдвигом на 1 единицу влево и на $\frac{1}{2}$ единицы вверх. Уравнения асимптот: $x = -1$, $y = \frac{1}{2}$.

б) Рассмотрим дробно-линейную функцию $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ при заданных условиях $c \neq 0$ и $\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d}$. Чтобы доказать, что ее график — гипербола, необходимо привести ее уравнение к каноническому виду смещенной гиперболы $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$.

Для этого выполним преобразование, выделив целую часть дроби. Разделим числитель $ax+b$ на знаменатель $cx+d$. Это можно сделать путем алгебраических манипуляций:
$y = \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx) + b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d - d) + b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) - \frac{ad}{c} + b}{cx+d}$
Разделим почленно:
$y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d)}{cx+d} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d}$
Упростим второе слагаемое:
$y = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}$

Введем обозначения: $y_0 = \frac{a}{c}$, $x_0 = -\frac{d}{c}$, $k = \frac{bc-ad}{c^2}$.
Тогда уравнение функции принимает вид: $y = y_0 + \frac{k}{x-x_0}$.
Это уравнение описывает гиперболу, которая получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{k}{x}$ путем параллельного переноса на вектор $(x_0, y_0)$.

Условие $\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d}$ равносильно условию $ad \neq bc$, то есть $bc-ad \neq 0$. Это гарантирует, что коэффициент $k = \frac{bc-ad}{c^2}$ не равен нулю (поскольку $c \neq 0$). Если бы $k=0$, график был бы прямой линией $y=y_0$, а не гиперболой.

Асимптоты графика функции $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ — это прямые $x=x_0$ и $y=y_0$. Подставив выражения для $x_0$ и $y_0$, находим уравнения асимптот для исходной дробно-линейной функции:
Вертикальная асимптота: $x = x_0 = -\frac{d}{c}$.
Горизонтальная асимптота: $y = y_0 = \frac{a}{c}$.
Таким образом, доказано, что график любой дробно-линейной функции является гиперболой с указанными асимптотами.
Ответ: Преобразование функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ к виду $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ с константами $k = \frac{bc-ad}{c^2}$, $x_0 = -\frac{d}{c}$ и $y_0 = \frac{a}{c}$ доказывает, что ее график является гиперболой. Эта гипербола получена сдвигом графика $y=k/x$ и имеет асимптоты $x = -\frac{d}{c}$ и $y = \frac{a}{c}$.