Номер 7.14, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.14. а) $y = x^2 - 4$;

б) $y = (x - 1)^2$;

В) $y = 2x^2 + 1$;

Г) $y = -(x + 2)^2$.

а) Функция $y = x^2 - 4$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика основной параболы $y = x^2$ путем смещения на 4 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам $x_0 = -b/(2a)$ и $y_0 = y(x_0)$. Для функции $y = x^2 - 4$, коэффициенты $a=1, b=0, c=-4$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot 1) = 0$.
$y_0 = 0^2 - 4 = -4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = 0$ (ось $Oy$).
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка пересечения — $(0, -4)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
Ответ: График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -4)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x = 0$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$; с осью $Oy$: $(0, -4)$.

б) Функция $y = (x - 1)^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика основной параболы $y = x^2$ путем смещения на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).
1. Направление ветвей. Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Из вида функции $y = (x - 1)^2 + 0$ следует, что вершина находится в точке $(h, k)$, то есть $(1, 0)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = h$, то есть $x = 1$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = (0 - 1)^2 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка пересечения — $(1, 0)$, что совпадает с вершиной.
Ответ: График функции $y = (x - 1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x = 1$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$; с осью $Oy$: $(0, 1)$.

в) Функция $y = 2x^2 + 1$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика $y = x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза и смещения на 1 единицу вверх.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Поскольку $|a| > 1$, парабола "уже" (более вытянута), чем $y=x^2$.
2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$. Для функции $y = 2x^2 + 1$, коэффициенты $a=2, b=0, c=1$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot 2) = 0$.
$y_0 = 2(0)^2 + 1 = 1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = 0$ (ось $Oy$).
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2(0)^2 + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $2x^2 + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 = -1 \Rightarrow x^2 = -1/2$. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.
Ответ: График функции $y = 2x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x = 0$. Точек пересечения с осью $Ox$ нет, точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 1)$.

г) Функция $y = -(x + 2)^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Данный график можно получить из графика $y = x^2$ путем смещения на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$ и последующего отражения относительно оси $Ox$.
1. Направление ветвей. Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы. Функцию можно записать как $y = -1(x - (-2))^2 + 0$. Отсюда следует, что вершина находится в точке $(h, k)$, то есть $(-2, 0)$.
3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = h$, то есть $x = -2$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -(0 + 2)^2 = -4$. Точка пересечения — $(0, -4)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $-(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения — $(-2, 0)$, что совпадает с вершиной.
Ответ: График функции $y = -(x + 2)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Ось симметрии — прямая $x = -2$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$; с осью $Oy$: $(0, -4)$.