Номер 7.15, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.15. a) $y = x^2 - 6x + 8;$

Б) $y = -x^2 + 2x + 3;$

В) $y = x^2 + 4x + 7;$

Г) $y = -2x^2 - 6x + 1.$

а) $y = x^2 - 6x + 8$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=1$, $b=-6$, $c=8$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для нахождения координат вершины параболы $(x_0, y_0)$ воспользуемся формулой для абсциссы вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = 3$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(3, -1)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(3, -1)$, ветви направлены вверх.

б) $y = -x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=-1$, $b=2$, $c=3$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = 1$ в уравнение функции:

$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(1, 4)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(1, 4)$, ветви направлены вниз.

в) $y = x^2 + 4x + 7$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=7$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = -2$ в уравнение функции:

$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, 3)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(-2, 3)$, ветви направлены вверх.

г) $y = -2x^2 - 6x + 1$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициенты данного уравнения: $a=-2$, $b=-6$, $c=1$.

Графиком функции является парабола. Так как старший коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = -1.5$ в уравнение функции:

$y_0 = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) + 1 = -2(2.25) + 9 + 1 = -4.5 + 10 = 5.5$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-1.5, 5.5)$.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(-1.5, 5.5)$, ветви направлены вниз.