Номер 7.9, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.9. На рисунке представлен график функции, определённой на отрезке $[a; b]$; $S(x)$ — площадь «подграфика» на отрезке $[a; x]$, $a \le x \le b$. Выразите величину $S(x)$ через $x$ и постройте график функции $y = S(x)$. По этому графику найдите область значений функции $y = S(x)$:

а) рис. 8 ($a = 0, b = 2$);

б) рис. 9 ($a = -4, b = 8$).

Рис. 8

Рис. 9

Решите данное уравнение относительно $y$ и относительно $x$. Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задаёт функцию вида $y = f(x)$ или/и вида $x = \varphi(y)$:

а) рис. 8 (a = 0, b = 2)

На рисунке 8 представлен график линейной функции $f(t)$ на отрезке $[0, 2]$. Эта функция является отрезком прямой, соединяющей точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Уравнение этой прямой можно найти по двум точкам. Угловой коэффициент: $k = \frac{0-2}{2-0} = -1$. Начальная ордината: $b=2$. Следовательно, уравнение функции: $f(t) = -t + 2$.

Величина $S(x)$ по определению — это площадь «подграфика», то есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(t)$, осью абсцисс и прямыми $t=0$ и $t=x$. Для $x \in [0, 2]$ эта фигура является трапецией с вершинами в точках $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(x, f(x))$ и $(0, f(0))$.

Основания этой трапеции равны $f(0)=2$ и $f(x)=-x+2$, а высота равна $x$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Подставляя наши значения, получаем выражение для $S(x)$:

$S(x) = \frac{f(0) + f(x)}{2} \cdot x = \frac{2 + (-x+2)}{2} \cdot x = \frac{4-x}{2} \cdot x = 2x - \frac{1}{2}x^2$.

Итак, мы получили функцию $S(x) = 2x - \frac{1}{2}x^2$ для $x \in [0, 2]$.

График функции $y=S(x)$ — это дуга параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы $y = -0.5x^2+2x$ находится в точке $x = -\frac{2}{2(-0.5)} = 2$.

Для построения графика найдем значения на концах отрезка:$S(0) = 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$.$S(2) = 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 4 - 2 = 2$.График начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(2, 2)$.

Для нахождения области значений функции $y = S(x)$ найдем ее производную: $S'(x) = (2x - \frac{1}{2}x^2)' = 2-x$. На интервале $[0, 2)$ производная $S'(x) > 0$, следовательно, функция $S(x)$ строго возрастает на отрезке $[0, 2]$.

Поскольку функция $S(x)$ непрерывна и возрастает на отрезке $[0, 2]$, ее область значений (множество всех принимаемых значений) есть отрезок от ее минимума до ее максимума: $[S(0), S(2)] = [0, 2]$.

Ответ: $S(x) = 2x - \frac{1}{2}x^2$ для $x \in [0, 2]$. График функции — это дуга параболы, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$. Область значений функции $y=S(x)$ — отрезок $[0, 2]$.

б) рис. 9 (a = -4, b = 8)

На рисунке 9 представлен график кусочно-постоянной функции $f(t)$ на отрезке $[-4, 8]$. Функция задается следующим образом:

$f(t) = \begin{cases} 5, & \text{если } -4 \le t < 2 \\ 2, & \text{если } 2 \le t \le 8 \end{cases}$

Величина $S(x)$ — это площадь под графиком функции $f(t)$ на отрезке $[-4, x]$. Для нахождения аналитического выражения для $S(x)$ необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения $x$.

Случай 1: $-4 \le x < 2$.

В этом случае $S(x)$ — это площадь прямоугольника с постоянной высотой 5 и шириной, равной $x - (-4) = x+4$.

$S(x) = 5 \cdot (x+4) = 5x + 20$.

Случай 2: $2 \le x \le 8$.

В этом случае площадь $S(x)$ состоит из двух частей. Первая часть — это площадь под графиком на отрезке $[-4, 2]$. Это прямоугольник с высотой 5 и шириной $2 - (-4) = 6$. Его площадь равна $5 \cdot 6 = 30$. Вторая часть — это площадь под графиком на отрезке $[2, x]$. Это прямоугольник с высотой 2 и шириной $x-2$. Его площадь равна $2 \cdot (x-2) = 2x-4$.

Суммарная площадь: $S(x) = 30 + (2x-4) = 2x + 26$.

Таким образом, функция $S(x)$ является кусочно-линейной и задается формулой:

$S(x) = \begin{cases} 5x + 20, & \text{если } -4 \le x < 2 \\ 2x + 26, & \text{если } 2 \le x \le 8 \end{cases}$

График функции $y=S(x)$ состоит из двух соединенных отрезков прямых (является ломаной). Найдем значения в "узловых" точках:

$S(-4) = 5(-4) + 20 = 0$.

Для $x=2$ значение вычисляется по второй формуле: $S(2) = 2(2) + 26 = 30$. Отметим, что функция непрерывна в точке $x=2$, так как предел слева $\lim_{x\to 2^-} (5x+20) = 5(2)+20=30=S(2)$.

$S(8) = 2(8) + 26 = 16 + 26 = 42$.

Следовательно, график $y=S(x)$ — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки $(-4, 0)$, $(2, 30)$ и $(8, 42)$.

Для нахождения области значений заметим, что производная $S'(x)$ равна 5 на интервале $(-4, 2)$ и 2 на интервале $(2, 8)$. Так как производная всюду положительна, функция $S(x)$ строго возрастает на всем отрезке $[-4, 8]$.

Поэтому ее область значений — это отрезок от минимального значения до максимального: $[S(-4), S(8)] = [0, 42]$.

Ответ: $S(x) = \begin{cases} 5x + 20, & \text{если } -4 \le x < 2 \\ 2x + 26, & \text{если } 2 \le x \le 8 \end{cases}$. График функции — ломаная линия, соединяющая точки $(-4, 0)$, $(2, 30)$ и $(8, 42)$. Область значений функции $y=S(x)$ — отрезок $[0, 42]$.