Номер 7.2, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.2. Используя условие задания 7.1, выразите площадь $S(x)$ части многоугольника ABCDEF, расположенной справа от прямой $M_1M_2$, как функцию от длины отрезка $AM_1 = x$.

Для решения задачи необходимо использовать условия из задания 7.1, которые в вопросе не приведены. Будем исходить из наиболее распространенного варианта для задач такого типа.

Предполагаемые условия из задачи 7.1:

Многоугольник $ABCDEF$ представляет собой L-образную фигуру, образованную из квадрата со стороной 2, из которого вырезан квадрат со стороной 1. Введем систему координат с началом в точке $A$. Вершины многоугольника имеют следующие координаты: $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(2,1)$, $D(1,1)$, $E(1,2)$, $F(0,2)$.

Точка $M_1$ лежит на стороне $AB$, и длина отрезка $AM_1 = x$. Таким образом, $0 \le x \le 2$, а координаты точки $M_1(x,0)$.

Прямая $M_1M_2$ делит периметр многоугольника пополам. Точка $M_2$ также лежит на границе многоугольника.

Сначала найдем периметр многоугольника $ABCDEF$:

$P = AB + BC + CD + DE + EF + FA$

$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$

$BC = \sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2} = 1$

$CD = \sqrt{(1-2)^2 + (1-1)^2} = 1$

$DE = \sqrt{(1-1)^2 + (2-1)^2} = 1$

$EF = \sqrt{(0-1)^2 + (2-2)^2} = 1$

$FA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-2)^2} = 2$

Периметр $P = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 8$.

Прямая $M_1M_2$ делит периметр пополам, значит, длина границы многоугольника между точками $M_1$ и $M_2$ равна $P/2 = 4$. Будем отсчитывать расстояние от точки $A$ по периметру в направлении $A \to B \to C \to D \to E \to F \to A$.

Расстояние от $A$ до $M_1$ равно $x$. Расстояние от $A$ до $M_2$ равно $x+4$.

Рассмотрим положение точки $M_2$ в зависимости от значения $x$. Вычислим расстояния от точки $A$ до вершин:

• $A$: 0
• $B$: 2
• $C$: $2+1 = 3$
• $D$: $3+1 = 4$
• $E$: $4+1 = 5$
• $F$: $5+1 = 6$
• $A$: $6+2 = 8$

Решение задачи зависит от того, на каком отрезке находится точка $M_2$. Разделим решение на два случая.

Случай 1: $0 \le x \le 1$

При $0 \le x \le 1$ расстояние от $A$ до $M_2$ по периметру составляет от $0+4=4$ до $1+4=5$. Это означает, что точка $M_2$ находится на отрезке $DE$.

Расстояние от точки $D$ до точки $M_2$ по периметру равно $(x+4) - 4 = x$. Так как $D=(1,1)$, $E=(1,2)$, а отрезок $DE$ вертикален и имеет длину 1, то координаты точки $M_2$ будут $(1, 1+x)$.

Итак, $M_1(x,0)$ и $M_2(1, 1+x)$.

Площадь $S(x)$, расположенная справа от прямой $M_1M_2$, — это площадь многоугольника $M_1BCDM_2$. Его вершины в порядке обхода: $M_1(x,0)$, $B(2,0)$, $C(2,1)$, $D(1,1)$, $M_2(1, 1+x)$.

Для вычисления площади воспользуемся формулой площади Гаусса (формулой шнурков):

$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(x \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (1+x) + 1 \cdot 0) - (0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (1+x) \cdot x)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(0 + 2 + 2 + 1+x + 0) - (0 + 0 + 1 + 1 + x + x^2)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(5+x) - (2+x+x^2)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |3 - x^2|$

Поскольку $0 \le x \le 1$, выражение $3 - x^2$ положительно, поэтому модуль можно убрать.

$S(x) = \frac{3 - x^2}{2} = 1.5 - 0.5x^2$

Проверим при $x=1$: $M_1(1,0)$, $M_2(1,2)$. Прямая $M_1M_2$ — это $x=1$. Площадь справа — это площадь прямоугольника со сторонами 1 и 1 (вершины $(1,0), (2,0), (2,1), (1,1)$), то есть $S(1)=1$. По формуле: $S(1) = 1.5 - 0.5(1)^2 = 1$. Результаты совпадают.

Случай 2: $1 < x \le 2$

При $1 < x \le 2$ расстояние от $A$ до $M_2$ по периметру составляет от $1+4=5$ до $2+4=6$. Это означает, что точка $M_2$ находится на отрезке $EF$.

Расстояние от точки $E$ до точки $M_2$ по периметру равно $(x+4) - 5 = x-1$. Так как $E=(1,2)$, $F=(0,2)$, а отрезок $EF$ горизонтален и имеет длину 1, то координаты точки $M_2$ будут $(1 - (x-1), 2) = (2-x, 2)$.

Итак, $M_1(x,0)$ и $M_2(2-x, 2)$.

Площадь $S(x)$, расположенная справа от прямой $M_1M_2$, — это площадь многоугольника $M_1BCDEM_2$. Его вершины в порядке обхода: $M_1(x,0)$, $B(2,0)$, $C(2,1)$, $D(1,1)$, $E(1,2)$, $M_2(2-x, 2)$.

Снова воспользуемся формулой Гаусса:

$S(x) = \frac{1}{2} |(x \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + (2-x) \cdot 0) - (0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot (2-x) + 2 \cdot x)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(0 + 2 + 2 + 2 + 2 + 0) - (0 + 0 + 1 + 1 + 4 - 2x + 2x)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |8 - (6)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |2| = 1$

Таким образом, при $1 < x \le 2$ площадь $S(x)$ является постоянной и равной 1.

Объединяя оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию для площади $S(x)$:

$S(x) = \begin{cases} 1.5 - 0.5x^2, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\1, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

Ответ: $S(x) = \begin{cases} 1.5 - 0.5x^2, & \text{при } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{при } 1 < x \le 2 \end{cases}$