Номер 6.26, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.26. Докажите, что любое натуральное число $h > 4$ можно представить в виде $h = 3m + 5n$, где $m$ и $n$ — целые числа.

Требуется доказать, что любое натуральное число $h > 4$ можно представить в виде $h = 3m + 5n$, где $m$ и $n$ — целые числа. Это эквивалентно доказательству утверждения для всех натуральных чисел $h \ge 5$.

Сначала рассмотрим несколько примеров для первых чисел, удовлетворяющих условию:

• Для $h=5$: $5 = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1$. Представление найдено при $m=0, n=1$.
• Для $h=6$: $6 = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 0$. Представление найдено при $m=2, n=0$.
• Для $h=7$: $7 = 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 2$. Представление найдено при $m=-1, n=2$.
• Для $h=8$: $8 = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1$. Представление найдено при $m=1, n=1$.

Примеры показывают, что утверждение выполняется. Докажем его в общем виде, используя метод математической индукции.

База индукции

Проверим утверждение для наименьшего натурального числа, удовлетворяющего условию $h > 4$, то есть для $h=5$. Как мы уже видели, $5 = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1$. Коэффициенты $m=0$ и $n=1$ являются целыми числами, поэтому база индукции верна.

Шаг индукции

Предположим, что для некоторого натурального числа $k \ge 5$ утверждение верно, то есть существуют такие целые числа $m_k$ и $n_k$, что выполняется равенство:
$k = 3m_k + 5n_k$

Теперь докажем, что утверждение справедливо и для следующего натурального числа, $k+1$. Нам нужно показать, что существуют целые числа $m_{k+1}$ и $n_{k+1}$, для которых $k+1 = 3m_{k+1} + 5n_{k+1}$.

Для этого представим число 1 как линейную комбинацию чисел 3 и 5. Например, справедливо следующее равенство:
$1 = 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-1)$

Прибавим это представление единицы к обеим частям нашего индуктивного предположения:
$k+1 = (3m_k + 5n_k) + 1$
$k+1 = (3m_k + 5n_k) + (3 \cdot 2 + 5 \cdot (-1))$

Теперь сгруппируем слагаемые с общими множителями 3 и 5:
$k+1 = (3m_k + 3 \cdot 2) + (5n_k + 5 \cdot (-1))$
$k+1 = 3(m_k + 2) + 5(n_k - 1)$

Мы получили искомое представление для $k+1$. Если мы обозначим $m_{k+1} = m_k + 2$ и $n_{k+1} = n_k - 1$, то поскольку $m_k$ и $n_k$ по предположению являются целыми числами, их суммы и разности $m_{k+1}$ и $n_{k+1}$ также будут целыми числами.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для числа $k$, то оно верно и для числа $k+1$.

Так как база индукции ($h=5$) верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции утверждение справедливо для всех натуральных чисел $h \ge 5$, то есть для всех $h > 4$.

Ответ: Утверждение доказано.