Номер 6.20, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.20. a) $(11^{6n + 3} + 1) : 148;$

б) $(7^{2n} - 4^{2n}) : 33;$

В) $(13^{4n + 2} + 1) : 85;$

Г) $(5^{n + 3} + 11^{3n + 1}) : 17.$

а) Докажем, что выражение $(11^{6n+3} + 1)$ делится на 148 для любого натурального $n$.
Преобразуем выражение, используя свойства степеней:
$11^{6n+3} + 1 = 11^{3(2n+1)} + 1 = (11^3)^{2n+1} + 1^{2n+1}$.
Мы получили сумму степеней с нечетным показателем $k = 2n+1$.
Воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $a^k + b^k = (a+b)(a^{k-1} - a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$, которая показывает, что $a^k + b^k$ делится на $a+b$ при нечетном $k$.
В нашем случае $a = 11^3$ и $b = 1$. Следовательно, выражение делится на $11^3 + 1$.
Вычислим значение этого делителя:
$11^3 + 1 = 1331 + 1 = 1332$.
Теперь проверим, делится ли 1332 на 148:
$1332 \div 148 = 9$.
Так как $1332 = 148 \times 9$, то 1332 делится на 148.
Поскольку выражение $(11^{6n+3} + 1)$ делится на 1332, а 1332 в свою очередь делится на 148, то и исходное выражение делится на 148, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $(11^{6n+3} + 1)$ делится на 148.

б) Докажем, что выражение $(7^{2n} - 4^{2n})$ делится на 33 для любого натурального $n$.
Преобразуем выражение:
$7^{2n} - 4^{2n} = (7^2)^n - (4^2)^n = 49^n - 16^n$.
Воспользуемся формулой разности степеней: $a^k - b^k = (a-b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$, которая показывает, что $a^k - b^k$ всегда делится на $a-b$.
В нашем случае $a = 49$, $b = 16$ и $k = n$. Следовательно, выражение делится на $49-16$.
Вычислим значение разности:
$49 - 16 = 33$.
Таким образом, выражение $(7^{2n} - 4^{2n})$ всегда делится на 33, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $(7^{2n} - 4^{2n})$ делится на 33.

в) Докажем, что выражение $(13^{4n+2} + 1)$ делится на 85 для любого натурального $n$.
Преобразуем выражение, выделив нечетный показатель степени:
$13^{4n+2} + 1 = 13^{2(2n+1)} + 1 = (13^2)^{2n+1} + 1^{2n+1}$.
Мы получили сумму степеней с нечетным показателем $k = 2n+1$.
Используя свойство делимости $a^k + b^k$ на $a+b$ для нечетных $k$, получаем, что наше выражение делится на $13^2 + 1$.
Вычислим значение этого делителя:
$13^2 + 1 = 169 + 1 = 170$.
Проверим, делится ли 170 на 85:
$170 \div 85 = 2$.
Так как 170 делится на 85, а выражение $(13^{4n+2} + 1)$ делится на 170, то оно также делится и на 85, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $(13^{4n+2} + 1)$ делится на 85.

г) Докажем, что выражение $(5^{n+3} + 11^{3n+1})$ делится на 17 для любого натурального $n$.
Преобразуем данное выражение:
$5^{n+3} + 11^{3n+1} = 5^3 \cdot 5^n + 11^1 \cdot 11^{3n} = 125 \cdot 5^n + 11 \cdot (11^3)^n$.
Вычислим $11^3$:
$11^3 = 1331$.
Выражение принимает вид: $125 \cdot 5^n + 11 \cdot 1331^n$.
Рассмотрим разность $1331^n - 5^n$. Она всегда делится на $1331 - 5 = 1326$.
Проверим делимость 1326 на 17:
$1326 \div 17 = 78$.
Значит, $1326$ делится на 17, и, следовательно, $1331^n - 5^n$ делится на 17.
Это означает, что $1331^n = 17k + 5^n$ для некоторого целого числа $k$.
Подставим это в наше выражение:
$125 \cdot 5^n + 11 \cdot (17k + 5^n) = 125 \cdot 5^n + 11 \cdot 17k + 11 \cdot 5^n$.
Сгруппируем слагаемые:
$(125 + 11) \cdot 5^n + 11 \cdot 17k = 136 \cdot 5^n + 11 \cdot 17k$.
Первое слагаемое, $136 \cdot 5^n$, делится на 17, так как $136 = 17 \times 8$.
Второе слагаемое, $11 \cdot 17k$, очевидно делится на 17.
Сумма двух слагаемых, каждое из которых делится на 17, также делится на 17. Таким образом, исходное выражение делится на 17.
Ответ: Доказано, что $(5^{n+3} + 11^{3n+1})$ делится на 17.