Номер 7.16, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.16. а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sqrt{x} + 2$;

в) $y = \sqrt{x - 1}$;

г) $y = \sqrt{x + 2} - 4$.

а) $y = \sqrt{x}$

Для функции $y = \sqrt{x}$ необходимо найти область определения и область значений.

Область определения (D(y)):
Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю. $x \ge 0$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения. $\sqrt{x} \ge 0$
Следовательно, $y \ge 0$. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x} + 2$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения (D(y)):
Область определения зависит только от выражения под корнем. Как и в предыдущем случае: $x \ge 0$
Область определения не изменяется: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Мы знаем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Чтобы найти область значений для $y$, прибавим 2 к обеим частям этого неравенства: $\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2$
$y \ge 2$
Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.
(График этой функции получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy).

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; Область значений $E(y) = [2; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x - 1}$

Данная функция также является преобразованием базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [1; +\infty)$.
(График этой функции получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox).

Область значений (E(y)):
Значение квадратного корня всегда неотрицательно: $\sqrt{x - 1} \ge 0$
Следовательно, $y \ge 0$. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [1; +\infty)$; Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{x + 2} - 4$

Эта функция представляет собой комбинацию сдвигов базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения (D(y)):
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$
$x \ge -2$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Мы знаем, что $\sqrt{x + 2} \ge 0$. Чтобы найти область значений для $y$, вычтем 4 из обеих частей неравенства: $\sqrt{x + 2} - 4 \ge 0 - 4$
$y \ge -4$
Область значений функции: $E(y) = [-4; +\infty)$.
(График этой функции получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вниз по оси Oy).

Ответ: Область определения $D(y) = [-2; +\infty)$; Область значений $E(y) = [-4; +\infty)$.