Номер 7.18, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.18. a) $y = |x|;$

б) $y = |x + 2|;$

В) $y = |x| - 3;$

Г) $y = |x - 1| + 2.$

а) $y = |x|$

Это основная функция модуля. Её график строится по определению модуля: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Таким образом, график состоит из двух частей:
1. Прямая $y = x$ для неотрицательных значений $x$ (биссектриса первого координатного угла).
2. Прямая $y = -x$ для отрицательных значений $x$ (биссектриса второго координатного угла).
График представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат.

Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Вершина графика (точка излома) находится в точке $(0; 0)$.
- Ось симметрии: ось OY ($x = 0$).
- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x|$ — это график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0;0)$: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина в $(0;0)$, ось симметрии $x=0$.

б) $y = |x + 2|$

Этот график можно получить из графика основной функции $y = |x|$ с помощью геометрических преобразований. Функция имеет вид $y = f(x+a)$, где $f(x) = |x|$ и $a = 2$. Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси OX на $a$ единиц влево, если $a > 0$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = |x + 2|$, нужно сдвинуть график функции $y = |x|$ на 2 единицы влево вдоль оси OX.

Свойства функции:
- Вершина графика смещается из точки $(0; 0)$ в точку $(-2; 0)$.
- Ось симметрии смещается с $x = 0$ на $x = -2$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на 2 единицы влево. Вершина в точке $(-2;0)$, ось симметрии $x=-2$.

в) $y = |x| - 3$

Этот график также получается из графика функции $y = |x|$ с помощью преобразования. Функция имеет вид $y = f(x) + b$, где $f(x) = |x|$ и $b = -3$. Преобразование $f(x) \to f(x) + b$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси OY на $|b|$ единиц вниз, если $b < 0$.

В данном случае $b = -3$, поэтому для построения графика функции $y = |x| - 3$ нужно сдвинуть график функции $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

Свойства функции:
- Вершина графика смещается из точки $(0; 0)$ в точку $(0; -3)$.
- Ось симметрии остается прежней: $x = 0$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений смещается вниз на 3: $E(y) = [-3; +\infty)$.
- Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x|-3$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на 3 единицы вниз. Вершина в точке $(0;-3)$, ось симметрии $x=0$.

г) $y = |x - 1| + 2$

Этот график получается из графика функции $y = |x|$ путем последовательного применения двух преобразований. Функция имеет вид $y = f(x-a) + b$, где $f(x) = |x|$, $a=1$ и $b=2$.

1. Сначала выполним сдвиг по оси OX. Преобразование $y = |x| \to y = |x-1|$ соответствует сдвигу графика на 1 единицу вправо вдоль оси OX.
2. Затем выполним сдвиг по оси OY. Преобразование $y = |x-1| \to y = |x-1| + 2$ соответствует сдвигу графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = |x - 1| + 2$, нужно сдвинуть график $y = |x|$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

Свойства функции:
- Вершина графика смещается из точки $(0; 0)$ в точку $(1; 2)$.
- Ось симметрии смещается с $x = 0$ на $x = 1$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений смещается вверх на 2: $E(y) = [2; +\infty)$.
- Функция убывает на $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; +\infty)$.

Ответ: График функции $y=|x-1|+2$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на 1 единицу вправо и 2 единицы вверх. Вершина в точке $(1;2)$, ось симметрии $x=1$.