Номер 7.17, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.17. a) $y = \frac{2}{x};$

В) $y = \frac{2}{x} + 3;$

б) $y = \frac{2}{x - 1};$

Г) $y = \frac{2}{x - 1} + 3.$

a) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Она является базовой для остальных функций в этом задании.

1. Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Так как числитель $2$ не равен нулю, значение дроби никогда не будет равно нулю. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

График расположен в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=2 > 0$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

б) $y = \frac{2}{x-1}$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

1. Область определения: Знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений: Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты: Асимптоты также смещаются вместе с графиком.

• Вертикальная асимптота: $x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

в) $y = \frac{2}{x} + 3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения: Остается такой же, как у базовой функции, так как знаменатель не изменился: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Каждое значение функции $y = \frac{2}{x}$ увеличивается на 3. Так как $\frac{2}{x} \neq 0$, то $y \neq 3$. $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Горизонтальная асимптота смещается вверх на 3 единицы: $y = 3$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=3$.

г) $y = \frac{2}{x-1} + 3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ путем двух параллельных переносов: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения: Знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений: Функция $y = \frac{2}{x-1}$ принимает все значения, кроме 0. Следовательно, функция $y = \frac{2}{x-1} + 3$ принимает все значения, кроме 3. $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Асимптоты: Асимптоты смещаются соответственно сдвигам графика.

• Вертикальная асимптота: $x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=3$.