Номер 7.19, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Числовые функции. Параграф 7. Определение числовой функции и способы её задания - номер 7.19, страница 46.

Условие.

7.19. a) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = |\sqrt[3]{x} - 1|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.

   Функция кубического корня определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений.

   Функция может принимать любые действительные значения. Следовательно, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность и нечетность.

   Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (0,0).

4. Точки пересечения с осями координат.

   При $x=0$, $y=\sqrt[3]{0}=0$. Точка пересечения с осью Oy — (0,0).

   При $y=0$, $\sqrt[3]{x}=0$, откуда $x=0$. Точка пересечения с осью Ox — (0,0).

   График проходит через начало координат.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Найдем первую производную: $y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

   Производная $y' > 0$ для всех $x \neq 0$. В точке $x=0$ производная не определена (касательная к графику в этой точке вертикальна). Так как производная положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Экстремумов у функции нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$.

   При $x>0$, $y'' < 0$, следовательно, график функции является вогнутым (или выпуклым вверх).

   При $x<0$, $y'' > 0$, следовательно, график функции является выпуклым (или выпуклым вниз).

   В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, точка (0,0) является точкой перегиба.

7. Построение графика.

   Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

   • $x=-8, y=-2$
   • $x=-1, y=-1$
   • $x=0, y=0$
   • $x=1, y=1$
   • $x=8, y=2$

   На основе проведенного анализа можно построить график. Он будет проходить через начало координат, симметрично относительно него, и будет постоянно возрастать, изгибаясь вниз при $x<0$ и вверх при $x>0$.

Ответ: Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является нечетной, возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. При $x<0$ график выпуклый (выпуклый вниз), а при $x>0$ — вогнутый (выпуклый вверх).

б) $y = |\sqrt[3]{x} - 1|$

Проведем исследование функции. Ее график можно получить из графика функции $y=\sqrt[3]{x}$ с помощью геометрических преобразований: сначала сдвигом на 1 единицу вниз, а затем отражением части графика, находящейся под осью абсцисс, в верхнюю полуплоскость.

1. Область определения.

   Подкоренное выражение кубического корня может быть любым, поэтому функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений.

   Так как функция представляет собой абсолютную величину (модуль), ее значения всегда неотрицательны, т.е. $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается при $\sqrt[3]{x}-1=0$, то есть при $x=1$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Четность и нечетность.

   Найдем $y(-x) = |\sqrt[3]{-x} - 1| = |-\sqrt[3]{x} - 1| = |\sqrt[3]{x} + 1|$.

   Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Точки пересечения с осями координат.

   При $x=0$, $y=|\sqrt[3]{0}-1| = |-1| = 1$. Точка пересечения с осью Oy — (0,1).

   При $y=0$, $|\sqrt[3]{x}-1|=0$, откуда $\sqrt[3]{x}=1$, $x=1$. Точка пересечения с осью Ox — (1,0).

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

   $y(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{x} - 1, & \text{если } \sqrt[3]{x} - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ -(\sqrt[3]{x} - 1) = 1 - \sqrt[3]{x}, & \text{если } \sqrt[3]{x} - 1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

   Найдем производную для каждого интервала:

   $y'(x) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, & \text{если } x > 1 \\ -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, & \text{если } x < 1, x \neq 0 \end{cases}$

   На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

   На интервале $(1; +\infty)$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

   В точке $x=1$ производная не существует (левосторонняя производная $y'_-(1) = -1/3$, а правосторонняя $y'_+(1) = 1/3$). Так как при переходе через точку $x=1$ производная меняет знак с «–» на «+», то $x=1$ — точка минимума. $y_{min} = y(1) = 0$. Точка (1,0) является точкой излома графика.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости.

   Найдем вторую производную:

   $y''(x) = \begin{cases} -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}, & \text{если } x > 1 \\ \frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}, & \text{если } x < 1, x \neq 0 \end{cases}$

   При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график вогнутый (выпуклый вверх).

   При $x \in (0; 1)$, $y'' > 0$, график выпуклый (выпуклый вниз).

   При $x \in (1; +\infty)$, $y'' < 0$, график вогнутый (выпуклый вверх).

   Точка $(0,1)$ является точкой перегиба (с вертикальной касательной).

7. Ключевые точки для построения графика:

   • $x=-8, y=|\sqrt[3]{-8}-1|=|-2-1|=3$
   • $x=-1, y=|\sqrt[3]{-1}-1|=|-1-1|=2$
   • $x=0, y=1$ (пересечение с Oy, точка перегиба)
   • $x=1, y=0$ (пересечение с Ox, точка минимума)
   • $x=8, y=|\sqrt[3]{8}-1|=|2-1|=1$

Ответ: Функция $y = |\sqrt[3]{x} - 1|$ определена на всей числовой оси, область значений $E(y)=[0; +\infty)$. Функция не является ни четной, ни нечетной. Убывает на интервале $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; +\infty)$. Точка минимума — $(1,0)$, которая является точкой излома. График пересекает ось Oy в точке $(0,1)$, которая является точкой перегиба. График вогнутый на $(-\infty;0)$ и $(1;+\infty)$, и выпуклый на $(0;1)$.