Номер 7.10, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.10. a) $2x + 3y = 24$;

б) $\frac{x - y}{x + 2y} = 2$;

в) $7x - 5y = 35$;

г) $\frac{2x + y}{x - 4y} = -2$.

а) Данное уравнение $2x + 3y = 24$ является линейным диофантовым уравнением, так как требуется найти его целочисленные решения. Мы можем найти общее решение, выразив одну переменную через другую и найдя условия целочисленности.
Выразим $y$ через $x$:
$3y = 24 - 2x$
$y = \frac{24 - 2x}{3} = 8 - \frac{2}{3}x$
Для того чтобы $y$ был целым числом, выражение $\frac{2}{3}x$ также должно быть целым (так как 8 - целое). Это возможно, только если $x$ делится на 3, поскольку числа 2 и 3 взаимно просты.
Введем параметр $t$, который является целым числом ($t \in \mathbb{Z}$), и пусть $x = 3t$.
Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:
$y = 8 - \frac{2}{3}(3t) = 8 - 2t$
Таким образом, все целочисленные решения уравнения можно записать в виде пары:
$x = 3t$
$y = 8 - 2t$, где $t$ – любое целое число.
Проверим решение: $2(3t) + 3(8 - 2t) = 6t + 24 - 6t = 24$. Равенство верно.
Ответ: $x = 3t, y = 8 - 2t$, где $t$ – любое целое число.

б) Дано уравнение $\frac{x - y}{x + 2y} = 2$.
Для решения этого уравнения необходимо избавиться от дроби. Уравнение имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю, то есть при выполнении условия $x + 2y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x + 2y)$:
$x - y = 2(x + 2y)$
Раскроем скобки в правой части:
$x - y = 2x + 4y$
Теперь сгруппируем все слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а с $y$ – в другой. Перенесем $x$ из левой части в правую, а $4y$ из правой в левую:
$-y - 4y = 2x - x$
Приведем подобные слагаемые:
$-5y = x$
Это и есть искомое соотношение между переменными. Проверим условие $x + 2y \neq 0$. Подставив $x = -5y$, получим:
$(-5y) + 2y = -3y \neq 0$, что означает $y \neq 0$. Если $y = 0$, то и $x = 0$, что делает знаменатель исходной дроби равным нулю.
Ответ: $x = -5y$ при $y \neq 0$.

в) Уравнение $7x - 5y = 35$ также является линейным диофантовым уравнением. Найдем его общее решение в целых числах.
Выразим одну из переменных, например $y$:
$7x - 35 = 5y$
$y = \frac{7x - 35}{5} = \frac{7x}{5} - 7$
Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы $\frac{7x}{5}$ было целым. Так как 7 и 5 – взаимно простые числа, это возможно только в том случае, если $x$ делится на 5.
Пусть $x = 5t$, где $t$ – любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).
Подставим это в выражение для $y$:
$y = \frac{7(5t)}{5} - 7 = 7t - 7$
Следовательно, общее решение в целых числах имеет вид:
$x = 5t$
$y = 7t - 7$, где $t$ – любое целое число.
Проверим: $7(5t) - 5(7t - 7) = 35t - 35t + 35 = 35$. Равенство выполняется.
Ответ: $x = 5t, y = 7t - 7$, где $t$ – любое целое число.

г) Дано уравнение $\frac{2x + y}{x - 4y} = -2$.
Это уравнение определено при условии $x - 4y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x - 4y)$, чтобы избавиться от дроби:
$2x + y = -2(x - 4y)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2x + y = -2x + 8y$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а с $y$ – в правую:
$2x + 2x = 8y - y$
Приведем подобные слагаемые:
$4x = 7y$
Это линейная зависимость между $x$ и $y$. Проверим исходное ограничение $x - 4y \neq 0$. Из $4x = 7y$ следует, что $x = \frac{7}{4}y$. Подставим в ограничение:
$\frac{7}{4}y - 4y = (\frac{7}{4} - \frac{16}{4})y = -\frac{9}{4}y \neq 0$, что верно при $y \neq 0$. Если $y=0$, то и $x=0$, что нарушает ограничение.
Ответ: $4x = 7y$, при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно.