Страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9. Если $a \ge 0, b \ge 0, n \in N, a > b$, то какое из утверждений верно:

а) $a^n < b^n$;

б) $a^n > b^n$;

в) $a^n = b^n$?

Нам даны следующие условия: $a \ge 0$, $b \ge 0$, $n \in N$ (где $N$ — это множество натуральных чисел, т.е. $n \ge 1$), и $a > b$. Проанализируем каждое из предложенных утверждений, чтобы определить, какое из них является верным.

а) $a^n < b^n$

Чтобы проверить это утверждение, воспользуемся методом контрпримера. Выберем числа, удовлетворяющие заданным условиям. Пусть $a=3$, $b=2$ и $n=2$. Все условия выполнены: $3 \ge 0$, $2 \ge 0$, $2 \in N$ и $3 > 2$. Вычислим значения $a^n$ и $b^n$: $a^n = 3^2 = 9$ $b^n = 2^2 = 4$ Сравнивая результаты, мы видим, что $9 > 4$. Это противоречит утверждению $a^n < b^n$. Следовательно, это утверждение не является верным в общем случае.

Ответ: Утверждение неверно.

б) $a^n > b^n$

Это утверждение является верным. Докажем это двумя способами.

Способ 1: Использование свойств степенной функции.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$ на множестве неотрицательных чисел $x \ge 0$. При натуральном показателе $n \ge 1$ эта функция является строго возрастающей. Это значит, что если $x_1 > x_2 \ge 0$, то и $f(x_1) > f(x_2)$, то есть $x_1^n > x_2^n$. В нашей задаче $a$ и $b$ как раз удовлетворяют этому условию: $a > b \ge 0$. Следовательно, $a^n > b^n$.

Способ 2: Анализ разности $a^n - b^n$.

Разложим разность $a^n - b^n$ на множители: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

Проанализируем знак каждого множителя:

• Первый множитель, $(a-b)$: так как по условию $a > b$, то $a-b > 0$.
• Второй множитель, $(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$: так как $a > b \ge 0$, то $a > 0$ и $b \ge 0$. Все слагаемые в этой сумме неотрицательны. При этом первое слагаемое $a^{n-1}$ строго положительно (так как $a > 0$ и $n \ge 1$). Сумма положительного числа и неотрицательных чисел всегда положительна. Таким образом, второй множитель больше нуля.

Поскольку оба множителя положительны, их произведение также положительно: $a^n - b^n > 0$. Из этого следует, что $a^n > b^n$.

Ответ: Утверждение верно.

в) $a^n = b^n$

Это утверждение неверно. Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ и натурального $n$, равенство $a^n = b^n$ выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$. Однако в условии задачи задано строгое неравенство $a > b$. Поэтому данное равенство выполняться не может. На примере из пункта а): при $a=3, b=2, n=2$, мы получили $a^n = 9$ и $b^n = 4$, что очевидно не равно.

Ответ: Утверждение неверно.

10. Если $n$ — нечётное число, то верно ли, что для любых чисел $a, b$ из $a > b$ следует $a^n > b^n$?

Данное утверждение верно, если под нечётным числом $n$ понимать положительное целое число (например, $1, 3, 5, \dots$). Если же $n$ может быть отрицательным нечётным числом (например, $-1, -3, \dots$), то утверждение неверно.

Рассмотрим сначала случай, когда $n$ — отрицательное нечётное число. Пусть $n = -m$, где $m$ — положительное нечётное число. Утверждение гласит, что из $a > b$ следует $a^{-m} > b^{-m}$. Приведём контрпример. Пусть $n = -1$, $a = 2$, $b = 1$. Условие $a > b$ выполняется, так как $2 > 1$. Проверим следствие $a^n > b^n$:$2^{-1} > 1^{-1}$$\frac{1}{2} > 1$Это неравенство ложно. Следовательно, для отрицательных нечётных $n$ утверждение в общем случае неверно.

Теперь докажем, что утверждение верно для любого положительного нечётного числа $n$. Нам нужно доказать, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то $a^n > b^n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $a^n - b^n$ положительна.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней:$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

По условию $a > b$, следовательно, множитель $(a - b)$ всегда положителен. Значит, знак всего выражения $a^n - b^n$ совпадает со знаком второго множителя, который мы обозначим как $S$:$S = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$

Докажем, что $S > 0$ при любых $a > b$. Разобьём доказательство на три случая.

Случай 1: $a > b \ge 0$.Если $b > 0$, то и $a > 0$. В этом случае все слагаемые в сумме $S$ являются положительными, так как представляют собой произведения положительных чисел. Сумма положительных чисел положительна, поэтому $S > 0$.Если $b = 0$, то $a > 0$. Сумма $S$ превращается в одно слагаемое $a^{n-1}$. Так как $n$ — положительное нечётное число ($n \ge 1$), то $n-1$ — неотрицательное чётное число. Если $n=1$, $S=a^0=1>0$. Если $n \ge 3$, то $n-1$ — положительное чётное число, и так как $a > 0$, то $a^{n-1} > 0$. В обоих случаях $S > 0$.

Случай 2: $b < a \le 0$.Если $a = 0$, то $b < 0$. Сумма $S$ равна $b^{n-1}$. Поскольку $n-1$ — положительное чётное число, а $b \neq 0$, то $b^{n-1} > 0$.Если $a < 0$ (и, следовательно, $b < 0$), то каждое слагаемое в $S$ вида $a^{n-1-k}b^k$ будет положительным. Это следует из того, что суммарная степень у $a$ и $b$ в каждом члене равна $n-1$, то есть чётному числу. Произведение чётного числа отрицательных сомножителей положительно. Например, для $a^{n-2}b$: $a$ возводится в нечётную степень $n-2$ (результат отрицательный), и $b$ — в первую степень (результат отрицательный). Их произведение положительно. Таким образом, все слагаемые в $S$ положительны, а значит и их сумма $S > 0$.

Случай 3: $a > 0 > b$.Поскольку $n$ — положительное нечётное число, $n-1$ — чётное. Пусть $n-1=2m$ для некоторого целого $m \ge 0$.Сумма $S$ является суммой геометрической прогрессии. Если $b \neq 0$, мы можем записать $S$ следующим образом:$S = b^{n-1} \left( \left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} + \left(\frac{a}{b}\right)^{n-2} + \dots + \frac{a}{b} + 1 \right) = b^{n-1} \cdot \frac{(a/b)^n - 1}{(a/b) - 1}$Обозначим $x = a/b$. Так как $a > 0$ и $b < 0$, то $x < 0$.Множитель $b^{n-1}$ положителен, так как $n-1$ — чётная степень.Рассмотрим дробь $\frac{x^n - 1}{x - 1}$.Знаменатель $x - 1$ отрицателен, так как $x < 0$.Числитель $x^n - 1$. Поскольку $x < 0$, а $n$ — нечётная степень, то $x^n < 0$. Следовательно, $x^n - 1$ также отрицателен.Отношение двух отрицательных чисел является положительным числом. Значит, дробь положительна.Поскольку оба множителя ($b^{n-1}$ и дробь) положительны, их произведение $S$ также положительно.

Таким образом, во всех возможных случаях $S > 0$. Так как $a - b > 0$ и $S > 0$, их произведение $a^n - b^n$ также положительно, что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство (с использованием производной)
Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$, где $n$ — положительное нечётное число. Нам нужно доказать, что эта функция является строго возрастающей, то есть из $a > b$ следует $f(a) > f(b)$.Для анализа монотонности функции найдем её производную:$f'(x) = n x^{n-1}$Поскольку $n$ — положительное нечётное число, $n \ge 1$, а показатель степени $n-1$ является неотрицательным чётным числом.Следовательно, $x^{n-1} \ge 0$ для любого действительного $x$. Так как $n > 0$, то и производная $f'(x) = n x^{n-1} \ge 0$ для всех $x$. При этом $f'(x) = 0$ только в одной точке $x=0$ (если $n>1$). Функция, производная которой неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в отдельных точках, является строго возрастающей. Таким образом, из $a > b$ следует $a^n > b^n$.

Ответ: Да, утверждение верно, если $n$ — положительное нечётное число. Если $n$ — отрицательное нечётное число, то утверждение неверно.

11. Что такое среднее арифметическое чисел $a$ и $b$, что такое их среднее геометрическое? Как связаны между собой среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел $a$ и $b$?

Что такое среднее арифметическое чисел a и b

Средним арифметическим двух чисел a и b называется число, равное половине их суммы. Оно находится путем сложения чисел и деления результата на их количество (в данном случае, на 2).
Формула для вычисления среднего арифметического:
$M_a = \frac{a + b}{2}$
где $M_a$ – обозначение среднего арифметического.

Ответ: Среднее арифметическое чисел a и b — это их полусумма, вычисляемая по формуле $\frac{a+b}{2}$.

Что такое их среднее геометрическое

Средним геометрическим двух неотрицательных чисел a и b называется число, равное квадратному корню из их произведения.
Формула для вычисления среднего геометрического:
$M_g = \sqrt{ab}$
где $M_g$ – обозначение среднего геометрического. Для извлечения корня числа должны быть неотрицательными. В контексте вопроса рассматриваются положительные числа, для которых это условие всегда выполнено.

Ответ: Среднее геометрическое чисел a и b — это квадратный корень из их произведения, вычисляемый по формуле $\sqrt{ab}$.

Как связаны между собой среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел a и b

Для любых двух положительных чисел a и b их среднее арифметическое всегда больше или равно их среднему геометрическому. Это фундаментальное соотношение в математике, известное как неравенство о средних (или неравенство Коши для n=2).
Математически это записывается так:
$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$
При этом знак равенства достигается тогда и только тогда, когда числа равны между собой, то есть $a = b$.

Доказательство этого неравенства:
1. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства: $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$. Наша цель — доказать, что эта разность неотрицательна (то есть $\ge 0$).
2. Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{a+b}{2} - \frac{2\sqrt{ab}}{2} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2}$
3. Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат разности. Так как по условию числа a и b положительные, мы можем представить их как квадраты их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.
Тогда числитель равен:
$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$
4. Таким образом, вся разность принимает вид:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$
5. Выражение в скобках $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$.
6. Знаменатель 2 — положительное число. Следовательно, вся дробь не может быть отрицательной:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0$
7. Мы доказали, что $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$, что равносильно $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Неравенство доказано.
8. Рассмотрим случай равенства. Равенство $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ возможно только тогда, когда $\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = 0$. Это, в свою очередь, выполняется только если числитель равен нулю: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$. Это верно, только если $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$, то есть $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, что для положительных a и b означает $a=b$.

Ответ: Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда не меньше их среднего геометрического, что выражается неравенством $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Равенство имеет место только при условии, что $a=b$.

7.7. Выясните, при каких значениях переменных x и y линии, представленные на рисунках 3–6, задают функции вида $y = f(x)$ или/и вида $x = \varphi(y)$ (за единицу масштаба принят размер одной клетки).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для решения этой задачи мы будем использовать графические тесты для определения функций.

• Зависимость является функцией вида $y = f(x)$, если любая вертикальная линия пересекает ее график не более чем в одной точке. Это означает, что каждому значению $x$ (из области определения) соответствует только одно значение $y$.
• Зависимость является функцией вида $x = \phi(y)$, если любая горизонтальная линия пересекает ее график не более чем в одной точке. Это означает, что каждому значению $y$ (из области определения) соответствует только одно значение $x$.

Масштаб: 1 клетка = 1 единица.

Рис. 3

Проверим, является ли линия функцией $y = f(x)$. Любая вертикальная линия, проведенная в пределах графика (от $x=-2$ до $x=2$), пересекает кривую ровно в одной точке. Следовательно, данная линия задает функцию $y = f(x)$. Область определения по оси $x$ для представленной части графика: $x \in [-2, 2]$.

Проверим, является ли линия функцией $x = \phi(y)$. Любая горизонтальная линия, проведенная в пределах графика (от $y=-1$ до $y=2$), также пересекает кривую ровно в одной точке. Следовательно, данная линия задает и функцию $x = \phi(y)$. Область определения по оси $y$ для представленной части графика: $y \in [-1, 2]$.

Ответ: Линия задает функцию $y = f(x)$ при $x \in [-2, 2]$ и функцию $x = \phi(y)$ при $y \in [-1, 2]$.

Рис. 4

Проверим на $y = f(x)$. Любая вертикальная линия, проведенная в пределах графика (от $x=-2$ до $x=1$), пересекает кривую ровно в одной точке. Значит, линия задает функцию $y = f(x)$ на промежутке $x \in [-2, 1]$.

Проверим на $x = \phi(y)$. Горизонтальная линия, например $y=1$, пересекает график в двух точках (приблизительно при $x \approx -1.8$ и $x \approx 0.8$). Поскольку одному значению $y$ соответствует несколько значений $x$, эта линия не задает функцию вида $x = \phi(y)$.

Ответ: Линия задает функцию $y = f(x)$ при $x \in [-2, 1]$, но не задает функцию вида $x = \phi(y)$.

Рис. 5

Проверим на $y = f(x)$. Вертикальная линия, например $x=1$, пересекает график в двух точках (приблизительно при $y \approx -0.7$ и $y \approx 2.7$). Поскольку одному значению $x$ соответствует несколько значений $y$, эта линия не задает функцию вида $y = f(x)$.

Проверим на $x = \phi(y)$. Любая горизонтальная линия, проведенная в пределах графика (от $y=-2$ до $y=3$), пересекает кривую ровно в одной точке. Значит, линия задает функцию $x = \phi(y)$ на промежутке $y \in [-2, 3]$.

Ответ: Линия задает функцию $x = \phi(y)$ при $y \in [-2, 3]$, но не задает функцию вида $y = f(x)$.

Рис. 6

Проверим на $y = f(x)$. Вертикальная линия, например $x=1$, пересекает график в трех точках. Следовательно, линия не задает функцию вида $y = f(x)$.

Проверим на $x = \phi(y)$. Горизонтальная линия, например $y=1$, пересекает график в двух точках. Следовательно, линия не задает и функцию вида $x = \phi(y)$.

Ответ: Линия не задает ни функцию вида $y = f(x)$, ни функцию вида $x = \phi(y)$.

7.8. Из прямоугольного листа жести размером $30 \times 50$ см по углам вырезали квадраты со стороной $x$ см и из полученной заготовки в форме креста согнули коробку прямоугольной формы высотой, равной $x$ см (рис. 7). Выразите объём полученной коробки как функцию от $x$.

Рис. 7

Для того чтобы найти объем полученной коробки, необходимо определить ее длину, ширину и высоту, которые зависят от величины $x$.

Исходный прямоугольный лист жести имеет размеры 30 см на 50 см. По углам этого листа вырезаются квадраты со стороной $x$ см.

Когда боковые части заготовки сгибаются вверх, высота полученной коробки становится равной стороне вырезанного квадрата. Таким образом, высота коробки $h$ равна $x$.

Высота: $h = x$ см.

Длина основания коробки образуется из первоначальной длины листа (50 см), от которой с обеих сторон отрезали по отрезку длиной $x$. Следовательно, длина коробки $l$ будет равна $50 - 2x$.

Длина: $l = 50 - 2x$ см.

Аналогично, ширина основания коробки образуется из первоначальной ширины листа (30 см), от которой также с обеих сторон отрезали по отрезку длиной $x$. Следовательно, ширина коробки $w$ будет равна $30 - 2x$.

Ширина: $w = 30 - 2x$ см.

Объем $V$ прямоугольной коробки вычисляется по формуле произведения ее длины, ширины и высоты:

$V = l \cdot w \cdot h$

Теперь подставим полученные выражения в эту формулу, чтобы выразить объем $V$ как функцию от $x$:

$V(x) = (50 - 2x) \cdot (30 - 2x) \cdot x$

Чтобы представить эту функцию в виде многочлена, раскроем скобки. Сначала перемножим выражения для длины и ширины:

$(50 - 2x)(30 - 2x) = 50 \cdot 30 - 50 \cdot 2x - 2x \cdot 30 + (2x)(2x) = 1500 - 100x - 60x + 4x^2 = 4x^2 - 160x + 1500$

Теперь умножим полученный результат на высоту $x$:

$V(x) = (4x^2 - 160x + 1500) \cdot x = 4x^3 - 160x^2 + 1500x$

Таким образом, объем коробки как функция от $x$ найден.

Ответ: $V(x) = 4x^3 - 160x^2 + 1500x$.

7.9. На рисунке представлен график функции, определённой на отрезке $[a; b]$; $S(x)$ — площадь «подграфика» на отрезке $[a; x]$, $a \le x \le b$. Выразите величину $S(x)$ через $x$ и постройте график функции $y = S(x)$. По этому графику найдите область значений функции $y = S(x)$:

а) рис. 8 ($a = 0, b = 2$);

б) рис. 9 ($a = -4, b = 8$).

Рис. 8

Рис. 9

Решите данное уравнение относительно $y$ и относительно $x$. Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задаёт функцию вида $y = f(x)$ или/и вида $x = \varphi(y)$:

а) рис. 8 (a = 0, b = 2)

На рисунке 8 представлен график линейной функции $f(t)$ на отрезке $[0, 2]$. Эта функция является отрезком прямой, соединяющей точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Уравнение этой прямой можно найти по двум точкам. Угловой коэффициент: $k = \frac{0-2}{2-0} = -1$. Начальная ордината: $b=2$. Следовательно, уравнение функции: $f(t) = -t + 2$.

Величина $S(x)$ по определению — это площадь «подграфика», то есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(t)$, осью абсцисс и прямыми $t=0$ и $t=x$. Для $x \in [0, 2]$ эта фигура является трапецией с вершинами в точках $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(x, f(x))$ и $(0, f(0))$.

Основания этой трапеции равны $f(0)=2$ и $f(x)=-x+2$, а высота равна $x$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Подставляя наши значения, получаем выражение для $S(x)$:

$S(x) = \frac{f(0) + f(x)}{2} \cdot x = \frac{2 + (-x+2)}{2} \cdot x = \frac{4-x}{2} \cdot x = 2x - \frac{1}{2}x^2$.

Итак, мы получили функцию $S(x) = 2x - \frac{1}{2}x^2$ для $x \in [0, 2]$.

График функции $y=S(x)$ — это дуга параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы $y = -0.5x^2+2x$ находится в точке $x = -\frac{2}{2(-0.5)} = 2$.

Для построения графика найдем значения на концах отрезка:$S(0) = 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$.$S(2) = 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 4 - 2 = 2$.График начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(2, 2)$.

Для нахождения области значений функции $y = S(x)$ найдем ее производную: $S'(x) = (2x - \frac{1}{2}x^2)' = 2-x$. На интервале $[0, 2)$ производная $S'(x) > 0$, следовательно, функция $S(x)$ строго возрастает на отрезке $[0, 2]$.

Поскольку функция $S(x)$ непрерывна и возрастает на отрезке $[0, 2]$, ее область значений (множество всех принимаемых значений) есть отрезок от ее минимума до ее максимума: $[S(0), S(2)] = [0, 2]$.

Ответ: $S(x) = 2x - \frac{1}{2}x^2$ для $x \in [0, 2]$. График функции — это дуга параболы, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$. Область значений функции $y=S(x)$ — отрезок $[0, 2]$.

б) рис. 9 (a = -4, b = 8)

На рисунке 9 представлен график кусочно-постоянной функции $f(t)$ на отрезке $[-4, 8]$. Функция задается следующим образом:

$f(t) = \begin{cases} 5, & \text{если } -4 \le t < 2 \\ 2, & \text{если } 2 \le t \le 8 \end{cases}$

Величина $S(x)$ — это площадь под графиком функции $f(t)$ на отрезке $[-4, x]$. Для нахождения аналитического выражения для $S(x)$ необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения $x$.

Случай 1: $-4 \le x < 2$.

В этом случае $S(x)$ — это площадь прямоугольника с постоянной высотой 5 и шириной, равной $x - (-4) = x+4$.

$S(x) = 5 \cdot (x+4) = 5x + 20$.

Случай 2: $2 \le x \le 8$.

В этом случае площадь $S(x)$ состоит из двух частей. Первая часть — это площадь под графиком на отрезке $[-4, 2]$. Это прямоугольник с высотой 5 и шириной $2 - (-4) = 6$. Его площадь равна $5 \cdot 6 = 30$. Вторая часть — это площадь под графиком на отрезке $[2, x]$. Это прямоугольник с высотой 2 и шириной $x-2$. Его площадь равна $2 \cdot (x-2) = 2x-4$.

Суммарная площадь: $S(x) = 30 + (2x-4) = 2x + 26$.

Таким образом, функция $S(x)$ является кусочно-линейной и задается формулой:

$S(x) = \begin{cases} 5x + 20, & \text{если } -4 \le x < 2 \\ 2x + 26, & \text{если } 2 \le x \le 8 \end{cases}$

График функции $y=S(x)$ состоит из двух соединенных отрезков прямых (является ломаной). Найдем значения в "узловых" точках:

$S(-4) = 5(-4) + 20 = 0$.

Для $x=2$ значение вычисляется по второй формуле: $S(2) = 2(2) + 26 = 30$. Отметим, что функция непрерывна в точке $x=2$, так как предел слева $\lim_{x\to 2^-} (5x+20) = 5(2)+20=30=S(2)$.

$S(8) = 2(8) + 26 = 16 + 26 = 42$.

Следовательно, график $y=S(x)$ — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки $(-4, 0)$, $(2, 30)$ и $(8, 42)$.

Для нахождения области значений заметим, что производная $S'(x)$ равна 5 на интервале $(-4, 2)$ и 2 на интервале $(2, 8)$. Так как производная всюду положительна, функция $S(x)$ строго возрастает на всем отрезке $[-4, 8]$.

Поэтому ее область значений — это отрезок от минимального значения до максимального: $[S(-4), S(8)] = [0, 42]$.

Ответ: $S(x) = \begin{cases} 5x + 20, & \text{если } -4 \le x < 2 \\ 2x + 26, & \text{если } 2 \le x \le 8 \end{cases}$. График функции — ломаная линия, соединяющая точки $(-4, 0)$, $(2, 30)$ и $(8, 42)$. Область значений функции $y=S(x)$ — отрезок $[0, 42]$.

7.10. a) $2x + 3y = 24$;

б) $\frac{x - y}{x + 2y} = 2$;

в) $7x - 5y = 35$;

г) $\frac{2x + y}{x - 4y} = -2$.

а) Данное уравнение $2x + 3y = 24$ является линейным диофантовым уравнением, так как требуется найти его целочисленные решения. Мы можем найти общее решение, выразив одну переменную через другую и найдя условия целочисленности.
Выразим $y$ через $x$:
$3y = 24 - 2x$
$y = \frac{24 - 2x}{3} = 8 - \frac{2}{3}x$
Для того чтобы $y$ был целым числом, выражение $\frac{2}{3}x$ также должно быть целым (так как 8 - целое). Это возможно, только если $x$ делится на 3, поскольку числа 2 и 3 взаимно просты.
Введем параметр $t$, который является целым числом ($t \in \mathbb{Z}$), и пусть $x = 3t$.
Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:
$y = 8 - \frac{2}{3}(3t) = 8 - 2t$
Таким образом, все целочисленные решения уравнения можно записать в виде пары:
$x = 3t$
$y = 8 - 2t$, где $t$ – любое целое число.
Проверим решение: $2(3t) + 3(8 - 2t) = 6t + 24 - 6t = 24$. Равенство верно.
Ответ: $x = 3t, y = 8 - 2t$, где $t$ – любое целое число.

б) Дано уравнение $\frac{x - y}{x + 2y} = 2$.
Для решения этого уравнения необходимо избавиться от дроби. Уравнение имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю, то есть при выполнении условия $x + 2y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x + 2y)$:
$x - y = 2(x + 2y)$
Раскроем скобки в правой части:
$x - y = 2x + 4y$
Теперь сгруппируем все слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а с $y$ – в другой. Перенесем $x$ из левой части в правую, а $4y$ из правой в левую:
$-y - 4y = 2x - x$
Приведем подобные слагаемые:
$-5y = x$
Это и есть искомое соотношение между переменными. Проверим условие $x + 2y \neq 0$. Подставив $x = -5y$, получим:
$(-5y) + 2y = -3y \neq 0$, что означает $y \neq 0$. Если $y = 0$, то и $x = 0$, что делает знаменатель исходной дроби равным нулю.
Ответ: $x = -5y$ при $y \neq 0$.

в) Уравнение $7x - 5y = 35$ также является линейным диофантовым уравнением. Найдем его общее решение в целых числах.
Выразим одну из переменных, например $y$:
$7x - 35 = 5y$
$y = \frac{7x - 35}{5} = \frac{7x}{5} - 7$
Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы $\frac{7x}{5}$ было целым. Так как 7 и 5 – взаимно простые числа, это возможно только в том случае, если $x$ делится на 5.
Пусть $x = 5t$, где $t$ – любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).
Подставим это в выражение для $y$:
$y = \frac{7(5t)}{5} - 7 = 7t - 7$
Следовательно, общее решение в целых числах имеет вид:
$x = 5t$
$y = 7t - 7$, где $t$ – любое целое число.
Проверим: $7(5t) - 5(7t - 7) = 35t - 35t + 35 = 35$. Равенство выполняется.
Ответ: $x = 5t, y = 7t - 7$, где $t$ – любое целое число.

г) Дано уравнение $\frac{2x + y}{x - 4y} = -2$.
Это уравнение определено при условии $x - 4y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x - 4y)$, чтобы избавиться от дроби:
$2x + y = -2(x - 4y)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2x + y = -2x + 8y$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а с $y$ – в правую:
$2x + 2x = 8y - y$
Приведем подобные слагаемые:
$4x = 7y$
Это линейная зависимость между $x$ и $y$. Проверим исходное ограничение $x - 4y \neq 0$. Из $4x = 7y$ следует, что $x = \frac{7}{4}y$. Подставим в ограничение:
$\frac{7}{4}y - 4y = (\frac{7}{4} - \frac{16}{4})y = -\frac{9}{4}y \neq 0$, что верно при $y \neq 0$. Если $y=0$, то и $x=0$, что нарушает ограничение.
Ответ: $4x = 7y$, при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно.

7.11. a) $2x - 3y^2 = -12;$

б) $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}.$

а) Решим диофантово уравнение $2x - 3y^2 = -12$ в целых числах.

Сначала выразим переменную $x$ через $y$:

$2x = 3y^2 - 12$

$x = \frac{3y^2 - 12}{2} = \frac{3}{2}y^2 - 6$

Для того чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы выражение $\frac{3}{2}y^2$ было целым. Это означает, что $3y^2$ должно быть четным числом. Так как число 3 является нечетным, то для четности произведения $3y^2$ необходимо, чтобы $y^2$ было четным числом.

Если квадрат числа, $y^2$, является четным, то и само число, $y$, должно быть четным. Поэтому мы можем представить $y$ в виде $y = 2k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь подставим это выражение для $y$ в формулу для $x$:

$x = \frac{3(2k)^2 - 12}{2} = \frac{3 \cdot 4k^2 - 12}{2} = \frac{12k^2 - 12}{2} = 6k^2 - 6 = 6(k^2 - 1)$

Таким образом, все целочисленные решения данного уравнения можно представить в виде пары формул, зависящих от целочисленного параметра $k$.

Ответ: $x = 6(k^2 - 1)$, $y = 2k$, где $k$ — любое целое число.

б) Рассмотрим уравнение $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в исходном уравнении не могут быть равны нулю:

$x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$

$x+4 \ne 0 \implies x \ne -4$

$y-3 \ne 0 \implies y \ne 3$

$y+4 \ne 0 \implies y \ne -4$

Теперь упростим уравнение, выполнив умножение дробей в левой и правой частях:

$\frac{x(x+1)}{(x-3)(x+4)} = \frac{y(y+1)}{(y-3)(y+4)}$

$\frac{x^2+x}{x^2+x-12} = \frac{y^2+y}{y^2+y-12}$

Пусть $u = x^2+x$ и $v = y^2+y$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\frac{u}{u-12} = \frac{v}{v-12}$

Заметим, что условия $u-12 \ne 0$ и $v-12 \ne 0$ эквивалентны исходным ограничениям ОДЗ. Умножим обе части уравнения на $(u-12)(v-12)$ (это возможно, так как знаменатели не равны нулю в ОДЗ):

$u(v-12) = v(u-12)$

$uv - 12u = vu - 12v$

Сократив $uv$ в обеих частях, получим:

$-12u = -12v$

$u = v$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$x^2+x = y^2+y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$(x^2 - y^2) + (x - y) = 0$

Разложим разность квадратов и вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(x+y) + (x-y) = 0$

$(x-y)(x+y+1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым случаям:

1) $x - y = 0 \implies x = y$

2) $x + y + 1 = 0$

Эти два равенства являются решением уравнения при соблюдении ОДЗ.

Ответ: совокупность решений $x=y$ и $x+y+1=0$ при условиях $x \ne 3$, $x \ne -4$, $y \ne 3$, $y \ne -4$.

Постройте график функции:

7.12. а) $y = 2x - 3$;

б) $y = 6 - 3x$;

в) $y = 0,5x + 1$;

г) $y = -2 - \frac{1}{3}x$.

а) $y = 2x - 3$

Данная функция является линейной, вида $y = kx + b$. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Составим таблицу значений.

1. Найдем точку пересечения с осью OY, для этого примем $x = 0$:
$y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Получили первую точку: $(0; -3)$.

2. Возьмем произвольное значение $x$, например, $x = 2$:
$y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Получили вторую точку: $(2; 1)$.

Теперь отметим на координатной плоскости точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$ и проведем через них прямую. Это и будет график функции $y = 2x - 3$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$.

б) $y = 6 - 3x$

Данная функция является линейной. Ее график — прямая линия. Для построения найдем координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью OY, приняв $x = 0$:
$y = 6 - 3 \cdot 0 = 6$.
Получили первую точку: $(0; 6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью OX, приняв $y = 0$:
$0 = 6 - 3x$
$3x = 6$
$x = 2$.
Получили вторую точку: $(2; 0)$.

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 6)$ и $(2; 0)$ и проведем через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 6)$ и $(2; 0)$.

в) $y = 0,5x + 1$

Данная функция является линейной. Ее график — прямая линия. Для построения найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$:
$y = 0,5 \cdot 0 + 1 = 1$.
Получили первую точку: $(0; 1)$.

2. Возьмем удобное значение $x$, например, $x = 4$:
$y = 0,5 \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Получили вторую точку: $(4; 3)$.

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(4; 3)$ и проведем через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(4; 3)$.

г) $y = -2 - \frac{1}{3}x$

Данная функция является линейной. Ее график — прямая линия. Для построения найдем координаты двух точек. Удобно выбирать значения $x$, кратные 3.

1. При $x = 0$:
$y = -2 - \frac{1}{3} \cdot 0 = -2$.
Получили первую точку: $(0; -2)$.

2. Возьмем $x = 3$:
$y = -2 - \frac{1}{3} \cdot 3 = -2 - 1 = -3$.
Получили вторую точку: $(3; -3)$.

Отметим на координатной плоскости точки $(0; -2)$ и $(3; -3)$ и проведем через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(3; -3)$.