Номер 7.31, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.31. Найдите область определения функции, учитывая все возможные значения параметра a:

а) $y = \frac{\sqrt{x - a}}{x^2 - 1}$;

б) $y = \sqrt{1 - a \cdot |x|}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}{x - a}$;

г) $y = \frac{a \cdot x^3 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x - a}}$.

а) $y = \frac{\sqrt{x - a}}{x^2 - 1}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} x - a \ge 0 \\ x^2 - 1 \ne 0 \end{cases} $ , что равносильно системе $ \begin{cases} x \ge a \\ x \ne 1 \\ x \ne -1 \end{cases} $ .

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$ относительно точек $x=1$ и $x=-1$.

• Если $a > 1$, то условие $x \ge a$ уже исключает точки $1$ и $-1$. Область определения: $x \ge a$.
• Если $a = 1$, то условие $x \ge 1$ и $x \ne 1$ дает $x > 1$.
• Если $-1 < a < 1$, то из промежутка $x \ge a$ нужно исключить точку $x = 1$. Точка $x = -1$ не входит в этот промежуток.
• Если $a = -1$, то из промежутка $x \ge -1$ нужно исключить точки $x = -1$ и $x = 1$.
• Если $a < -1$, то из промежутка $x \ge a$ нужно исключить точки $x = -1$ и $x = 1$.

Ответ:

При $a > 1$: $D(y) = [a, +\infty)$;

При $a = 1$: $D(y) = (1, +\infty)$;

При $-1 < a < 1$: $D(y) = [a, 1) \cup (1, +\infty)$;

При $a = -1$: $D(y) = (-1, 1) \cup (1, +\infty)$;

При $a < -1$: $D(y) = [a, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1 - a \cdot |x|}$

Область определения функции задается неравенством: $1 - a \cdot |x| \ge 0$, или $a \cdot |x| \le 1$.

Рассмотрим различные случаи для параметра $a$.

• Если $a > 0$, то, разделив на $a$, получаем $|x| \le \frac{1}{a}$, что равносильно $-\frac{1}{a} \le x \le \frac{1}{a}$.
• Если $a = 0$, неравенство принимает вид $1 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$.
• Если $a < 0$, то произведение $a \cdot |x|$ является неположительным числом ($a<0$, $|x|\ge0$). Тогда $1 - a \cdot |x|$ всегда будет не меньше 1, и неравенство $1 - a \cdot |x| \ge 0$ выполняется для любого действительного $x$.

Объединяя случаи $a=0$ и $a<0$, получаем ответ.

Ответ:

При $a > 0$: $D(y) = [-\frac{1}{a}, \frac{1}{a}]$;

При $a \le 0$: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}{x - a}$

Область определения функции задается системой:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 12 \ge 0 \\ x - a \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство. Корнями уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

Теперь нужно из этого множества исключить точку $x=a$.

• Если $a$ не принадлежит множеству $(-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$, то есть $3 < a < 4$, то точка $x=a$ уже исключена, и условие $x \ne a$ выполняется автоматически.
• Если $a$ принадлежит множеству $(-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$, то есть $a \le 3$ или $a \ge 4$, то точку $x=a$ необходимо исключить.

Ответ:

При $3 < a < 4$: $D(y) = (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$;

При $a \le 3$: $D(y) = (-\infty, a) \cup (a, 3] \cup [4, +\infty)$;

При $a \ge 4$: $D(y) = (-\infty, 3] \cup [4, a) \cup (a, +\infty)$.

г) $y = \frac{a \cdot x^3 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x - a}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} -x^2 - 7x + 8 \ge 0 \\ x - a \ge 0 \\ 1 + \sqrt{x-a} \ne 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $-x^2 - 7x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + 7x - 8 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$ являются $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$. Неравенство выполняется между корнями: $x \in [-8, 1]$.

2. Второе неравенство: $x - a \ge 0 \Leftrightarrow x \ge a$.

3. Третье условие: $1 + \sqrt{x-a} \ne 0$. Так как $\sqrt{x-a} \ge 0$, то $1 + \sqrt{x-a} \ge 1$. Это условие всегда выполняется, когда определен корень.

Следовательно, область определения — это пересечение множеств $x \in [-8, 1]$ и $x \ge a$. Результат зависит от значения параметра $a$.

• Если $a > 1$, то интервал $[a, +\infty)$ не имеет общих точек с отрезком $[-8, 1]$. Пересечение пусто.
• Если $a \le 1$, то пересечение непустое. Рассмотрим подробнее:
  • Если $-8 \le a \le 1$, пересечением является отрезок $[a, 1]$.
  • Если $a < -8$, то отрезок $[-8, 1]$ полностью содержится в интервале $[a, +\infty)$. Пересечением будет отрезок $[-8, 1]$.

Ответ:

При $a > 1$: $D(y) = \emptyset$;

При $-8 \le a \le 1$: $D(y) = [a, 1]$;

При $a < -8$: $D(y) = [-8, 1]$.