Номер 7.35, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.35. Пусть $D(f) = [-5; 10]$. Найдите область определения функции:

а) $y = f(-x)$;

б) $y = |f(-x)|$;

в) $y = f(|-x|)$;

г) $y = f(-|x|)$.

По условию, область определения функции $f$, обозначаемая как $D(f)$, представляет собой отрезок $[-5; 10]$. Это означает, что функция $f$ определена для любого аргумента, принадлежащего этому отрезку. Для нахождения области определения сложной функции вида $y=f(g(x))$, необходимо, чтобы ее аргумент $g(x)$ находился в пределах области определения функции $f$. Таким образом, мы должны решить неравенство:
$-5 \le g(x) \le 10$.

а) $y = f(-x)$

В данном случае аргументом функции $f$ является выражение $g(x) = -x$. Чтобы найти область определения $D(y)$, нужно решить двойное неравенство:
$-5 \le -x \le 10$
Для того чтобы выразить $x$, умножим все части неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число его знаки меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-5) \ge (-1) \cdot (-x) \ge (-1) \cdot 10$
$5 \ge x \ge -10$
Запишем это неравенство в более привычном порядке, от меньшего к большему:
$-10 \le x \le 5$
Следовательно, область определения данной функции — это отрезок $[-10; 5]$.
Ответ: $D(y) = [-10; 5]$.

б) $y = |f(-x)|$

Область определения функции $y = |f(-x)|$ совпадает с областью определения функции $z = f(-x)$. Это связано с тем, что операция взятия модуля (абсолютной величины) может быть применена к любому действительному числу, которое выдает функция $f(-x)$, и, следовательно, не накладывает никаких дополнительных ограничений на возможные значения $x$.
Таким образом, область определения этой функции такая же, как и в пункте а).
Ответ: $D(y) = [-10; 5]$.

в) $y = f(|-x|)$

Аргументом функции $f$ здесь является выражение $g(x) = |-x|$. Воспользуемся свойством модуля: $|-a| = |a|$. Тогда функцию можно переписать в виде $y = f(|x|)$.
Теперь найдем область определения, решив неравенство:
$-5 \le |x| \le 10$
Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:
1) $|x| \ge -5$
2) $|x| \le 10$
Первое неравенство $|x| \ge -5$ истинно для любого действительного числа $x$, поскольку модуль числа всегда неотрицателен.
Второе неравенство $|x| \le 10$ означает, что расстояние от $x$ до нуля не превышает 10, что равносильно двойному неравенству $-10 \le x \le 10$.
Область определения является пересечением решений этих двух неравенств, то есть пересечением множества всех действительных чисел и отрезка $[-10; 10]$. Результатом является отрезок $[-10; 10]$.
Ответ: $D(y) = [-10; 10]$.

г) $y = f(-|x|)$

Аргументом функции $f$ является выражение $g(x) = -|x|$. Найдем область определения, решив неравенство:
$-5 \le -|x| \le 10$
Это двойное неравенство эквивалентно системе:
1) $-|x| \ge -5$
2) $-|x| \le 10$
Решим первое неравенство. Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$|x| \le 5$
Это неравенство эквивалентно $-5 \le x \le 5$.
Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на $-1$, изменив знак:
$|x| \ge -10$
Это неравенство верно для любого действительного $x$, так как модуль числа всегда больше или равен нулю.
Область определения функции есть пересечение решений обоих неравенств, то есть пересечение отрезка $[-5; 5]$ и множества всех действительных чисел. В результате получаем отрезок $[-5; 5]$.
Ответ: $D(y) = [-5; 5]$.