Номер 7.48, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.48. Пусть область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите множество значений функции:

a) $y = f(x + 5)$;

б) $y = 5 - f(x + 5)$;

в) $y = 5 - f(x)$;

г) $y = a - f(x + b)$.

По условию, область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство:

$-3 \le f(x) \le 5$

Мы будем использовать это неравенство для нахождения множества значений для каждой из предложенных функций.

а) $y = f(x + 5)$

Преобразование аргумента функции $x \rightarrow x+5$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (горизонтально) на 5 единиц влево. Такое преобразование не изменяет ординаты точек графика, а значит, и множество значений функции остается прежним.

Таким образом, область значений функции $y = f(x+5)$ совпадает с областью значений функции $y=f(x)$.

Ответ: $[-3; 5]$.

б) $y = 5 - f(x + 5)$

Найдем область значений этой функции, выполняя последовательные преобразования исходного неравенства.

1. Как мы выяснили в пункте а), область значений функции $g(x) = f(x+5)$ также является отрезком $[-3; 5]$. То есть, $-3 \le f(x+5) \le 5$.

2. Умножим все части неравенства на $-1$. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge (-1) \cdot f(x+5) \ge (-1) \cdot 5$

$3 \ge -f(x+5) \ge -5$

Запишем это в более привычном виде (от меньшего к большему):

$-5 \le -f(x+5) \le 3$

3. Прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы получить итоговое выражение:

$5 - 5 \le 5 - f(x+5) \le 5 + 3$

$0 \le 5 - f(x+5) \le 8$

Следовательно, область значений функции $y = 5 - f(x+5)$ — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

в) $y = 5 - f(x)$

Решение полностью аналогично пункту б), но применяется к исходной функции $f(x)$.

1. Исходная область значений $f(x)$:

$-3 \le f(x) \le 5$

2. Умножаем на $-1$ и меняем знаки неравенства:

$3 \ge -f(x) \ge -5$, что эквивалентно $-5 \le -f(x) \le 3$.

3. Прибавляем 5 ко всем частям:

$5 - 5 \le 5 - f(x) \le 5 + 3$

$0 \le 5 - f(x) \le 8$

Таким образом, область значений функции $y = 5 - f(x)$ — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

г) $y = a - f(x + b)$

Это обобщенный случай, где $a$ и $b$ — некоторые параметры. Рассуждаем аналогично предыдущим пунктам.

1. Область значений $f(x)$ — это $[-3; 5]$, то есть $-3 \le f(x) \le 5$.

2. Сдвиг по оси $x$ на $b$ не меняет область значений, поэтому для $f(x+b)$ также верно:

$-3 \le f(x+b) \le 5$

3. Умножаем на $-1$, меняя знаки неравенства:

$3 \ge -f(x+b) \ge -5$, или $-5 \le -f(x+b) \le 3$.

4. Прибавляем параметр $a$ ко всем частям неравенства:

$a - 5 \le a - f(x+b) \le a + 3$

Следовательно, искомое множество значений — это отрезок $[a-5; a+3]$.

Ответ: $[a-5; a+3]$.