Номер 7.54, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.54. Найдите область значений функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x}$;

б) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$;

в) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x}$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$.

а) Найдем область значений функции $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x}$. Область определения функции: $x \neq 0$.
Пусть $y$ — некоторое значение из области значений функции. Тогда уравнение $y = \frac{x^2 + 8}{x}$ должно иметь хотя бы одно действительное решение относительно $x$.
Преобразуем уравнение:
$yx = x^2 + 8$
$x^2 - yx + 8 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = y^2 - 32$
Решим неравенство $D \ge 0$:
$y^2 - 32 \ge 0$
$y^2 \ge 32$
$|y| \ge \sqrt{32}$
$|y| \ge 4\sqrt{2}$
Это неравенство выполняется при $y \in (-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; \infty)$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$. Область определения функции: $x \neq -1$.
Найдем все значения $y$, для которых уравнение $y = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$ имеет решение.
$y(x+1) = x^2 + 8$
$yx + y = x^2 + 8$
$x^2 - yx + (8 - y) = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Заметим, что при $x=-1$ исходная функция не определена. Если подставить $x=-1$ в полученное уравнение, получим $1 + y + 8 - y = 0$, то есть $9=0$, что неверно. Значит, корень $x=-1$ появиться не может, и нам не нужно рассматривать этот случай отдельно.
Уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте $D$:
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - y) = y^2 + 4y - 32$
Решим неравенство $y^2 + 4y - 32 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 + 4y - 32 = 0$: $y_1 = -8$, $y_2 = 4$.
Поскольку ветви параболы $g(y) = y^2 + 4y - 32$ направлены вверх, неравенство выполняется при $y \le -8$ или $y \ge 4$.

Ответ: $(-\infty; -8] \cup [4; \infty)$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x}$. Область определения: $x \neq 0$.
Пусть $y = f(x)$. Найдем все возможные значения $y$, для которых уравнение $y = \frac{x^2-4}{x}$ имеет решение.
$yx = x^2 - 4$
$x^2 - yx - 4 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если дискриминант $D \ge 0$.
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = y^2 + 16$
Неравенство $y^2 + 16 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $y$, так как $y^2 \ge 0$ и, следовательно, $y^2 + 16 \ge 16$.
Таким образом, для любого значения $y$ существует соответствующее значение $x$, а значит, область значений — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; \infty)$.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$. Область определения: $x \neq 1$.
Пусть $y = f(x)$. Найдем все значения $y$, для которых уравнение $y = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$ имеет решение.
$y(x-1) = x^2 - 4$
$x^2 - yx + (y - 4) = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. При $x=1$ оно превращается в $1-y+y-4=0 \implies -3=0$, что неверно. Следовательно, корень $x=1$ невозможен.
Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y - 4) = y^2 - 4y + 16$
Рассмотрим квадратный трехчлен $g(y) = y^2 - 4y + 16$. Его дискриминант $\Delta_y = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48$.
Поскольку $\Delta_y < 0$ и старший коэффициент трехчлена положителен ($1>0$), $g(y)$ принимает только положительные значения при всех $y$.
Следовательно, неравенство $D \ge 0$ выполняется для любого действительного $y$. Область значений — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; \infty)$.