Номер 7.61, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.61. На рисунке 10 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график уравнения:

а) $y = |f(x)|$;

б) $y = f(|x|)$;

в) $|y| = f(x)$;

г) $|y| = f(|x|)$.

Выполните аналогичные задания для функций $y = g(x)$ (рис. 11), $y = h(x)$ (рис. 12) и $y = \varphi(x)$ (рис. 13).

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Решения для функции $y = f(x)$ (рис. 10)

а) $y = |f(x)|$

Чтобы построить график уравнения $y = |f(x)|$, необходимо ту часть графика $y = f(x)$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), отразить симметрично относительно этой оси. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

Применительно к графику на рис. 10:
- Участки графика, где $f(x) \ge 0$ (на промежутках $[-4, 0]$ и $[4, 8]$), остаются на месте.
- Участки графика, где $f(x) < 0$ (на промежутках, примерно, $[-5.5, -4)$, $(0, 4)$ и $(8, 9.5]$), отражаются симметрично относительно оси $Ox$.
- Точки локальных минимумов $(2, -1)$ и $(9, -2)$ становятся точками излома (остриями) в точках $(2, 1)$ и $(9, 2)$ соответственно.

Ответ: График $y = |f(x)|$ получается из исходного графика путем симметричного отражения всех его отрицательных частей (находящихся под осью $x$) относительно оси $x$. Положительные части остаются без изменений.

б) $y = f(|x|)$

График функции $y = f(|x|)$ является четной функцией, то есть он симметричен относительно оси $Oy$. Для его построения необходимо:
1. Стереть часть графика $y = f(x)$, расположенную слева от оси $Oy$ (для $x < 0$).
2. Оставить без изменений часть графика $y = f(x)$, расположенную справа от оси $Oy$ и на самой оси (для $x \ge 0$).
3. Отразить оставшуюся часть графика симметрично относительно оси $Oy$.

Применительно к графику на рис. 10:
- Часть графика для $x \ge 0$ (которая проходит через точки $(0,0), (2,-1), (4,0), (6,3), (8,0), (9,-2)$) сохраняется.
- Часть графика для $x < 0$ удаляется.
- Сохраненная правая часть отражается влево. Например, точка $(2, -1)$ будет иметь симметричную точку $(-2, -1)$, точка $(6, 3)$ — точку $(-6, 3)$, и так далее.

Ответ: Итоговый график симметричен относительно оси $y$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=f(x)$, а для $x < 0$ является зеркальным отражением его правой части.

в) $|y| = f(x)$

Это уравнение задает не функцию, а кривую. Чтобы построить ее график, нужно учесть, что $|y| \ge 0$, следовательно, $f(x)$ также должно быть неотрицательным. Правило построения:
1. Стереть часть графика $y = f(x)$, где $f(x) < 0$.
2. Оставить часть графика, где $f(x) \ge 0$.
3. Добавить к оставшейся части ее симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 10:
- Сохраняются участки графика на промежутках $[-4, 0]$ и $[4, 8]$, где $f(x) \ge 0$.
- Все остальные части графика, где $f(x) < 0$, удаляются.
- Сохраненные "холмы" над осью $Ox$ отражаются симметрично вниз относительно этой оси.

Ответ: График состоит из двух замкнутых кривых, симметричных относительно оси $Ox$. Первая кривая расположена на отрезке $x \in [-4, 0]$, вторая — на отрезке $x \in [4, 8]$.

г) $|y| = f(|x|)$

Этот график является результатом последовательного применения преобразований из пунктов б) и в). Он будет симметричен как относительно оси $Ox$, так и относительно оси $Oy$. Алгоритм построения:
1. Взять часть исходного графика $y=f(x)$ в первой четверти (где $x \ge 0$ и $y \ge 0$).
2. Отразить эту часть симметрично относительно оси $Oy$ во вторую четверть.
3. Отразить все получившееся в верхней полуплоскости симметрично относительно оси $Ox$ в нижнюю полуплоскость.

Применительно к графику на рис. 10:
- Берем участок графика на отрезке $[4, 8]$.
- Отражаем его симметрично относительно оси $Oy$, получая такой же участок на отрезке $[-8, -4]$.
- Отражаем оба этих "холма" симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: Итоговый график состоит из двух замкнутых кривых, аналогичных тем, что в пункте в), но расположенных симметрично относительно оси $Oy$: одна на отрезке $x \in [4, 8]$ и ее отражение внизу, вторая на отрезке $x \in [-8, -4]$ и ее отражение внизу.

Решения для функции $y = g(x)$ (рис. 11)

а) $y = |g(x)|$

Отражаем части графика $y = g(x)$, находящиеся под осью $Ox$, симметрично относительно этой оси. Части над осью $Ox$ оставляем без изменений.

Применительно к графику на рис. 11:
- Участки на интервалах (примерно) $[-3, 1.5]$ и $[4.5, 5]$ остаются без изменений.
- Участки на интервалах $[-4.5, -3)$ и $(1.5, 4.5)$ отражаются вверх. Локальный минимум в точке $(3, -2)$ становится точкой излома в $(3, 2)$.

Ответ: График $y = |g(x)|$ получается из исходного отражением его отрицательных частей (под осью $x$) относительно оси $x$.

б) $y = g(|x|)$

Сохраняем часть графика $y=g(x)$ для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$. Левую часть ($x < 0$) исходного графика удаляем.

Применительно к графику на рис. 11:
- Правая часть графика, начинающаяся в точке $(0, 2)$, идущая вниз через корень $x \approx 1.5$ к минимуму $(3, -2)$, затем вверх через корень $x \approx 4.5$ и имеющая разрыв в $x=5$ (значение $g(5) \approx 2$), сохраняется.
- Эта часть отражается влево. Появляется симметричный минимум в $(-3, -2)$, корень в $x \approx -1.5$ и разрыв в $x=-5$ со значением $y \approx 2$.

Ответ: График симметричен относительно оси $y$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=g(x)$, для $x<0$ является его зеркальным отражением.

в) $|y| = g(x)$

Сохраняем только те части графика $y=g(x)$, где $g(x) \ge 0$, и добавляем их симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 11:
- Сохраняются участки на интервалах (примерно) $[-3, 1.5]$ и $[4.5, 5]$.
- Эти участки отражаются симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из двух частей, каждая из которых симметрична относительно оси $Ox$. Одна часть представляет собой замкнутую кривую на отрезке $x \in [-3, 1.5]$, другая — кривую на отрезке $x \in [4.5, 5]$.

г) $|y| = g(|x|)$

Комбинируем преобразования б) и в). Берем часть графика $y=g(x)$ для $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем отражаем ее симметрично относительно обеих осей.

Применительно к графику на рис. 11:
- Берем участки правой части графика ($x \ge 0$), где $g(x) \ge 0$. Это интервал (примерно) $[0, 1.5]$ и отрезок $[4.5, 5]$.
- Отражаем их относительно оси $Oy$, получая симметричные участки на $[-1.5, 0]$ и $[-5, -4.5]$.
- Все полученные четыре участка отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График симметричен относительно обеих координатных осей. Он состоит из замкнутой кривой на $x \in [-1.5, 1.5]$ и двух отдельных кривых на $x \in [-5, -4.5]$ и $x \in [4.5, 5]$.

Решения для функции $y = h(x)$ (рис. 12)

а) $y = |h(x)|$

Части графика $y = h(x)$, находящиеся под осью $Ox$, отражаются симметрично относительно этой оси.

Применительно к графику на рис. 12:
- Участки на интервалах $(-4, 0)$ и $(2.5, 4)$ остаются на месте.
- Участки на интервалах $[-5.5, -4)$ и $(0, 2.5)$ отражаются вверх. Точки минимумов $(-5, -2)$ и $(1, -1)$ становятся точками излома $(-5, 2)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График $y = |h(x)|$ получается из исходного отражением его отрицательных частей (под осью $x$) относительно оси $x$.

б) $y = h(|x|)$

Сохраняем часть графика $y=h(x)$ для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$.

Применительно к графику на рис. 12:
- Правая часть графика (от $x=0$ до $x=4$) сохраняется. Она проходит через $(0,0)$, минимум в $(1, -1)$, корень в $x=2.5$ и уходит вверх к асимптоте $x=4$.
- Эта часть отражается влево. Появляется симметричный минимум в $(-1, -1)$, корень в $x=-2.5$ и вертикальная асимптота $x=-4$. В точке $(0,0)$ образуется излом (острие).

Ответ: График симметричен относительно оси $y$, имеет точку излома в начале координат и вертикальные асимптоты $x=4$ и $x=-4$.

в) $|y| = h(x)$

Сохраняем только те части графика $y=h(x)$, где $h(x) \ge 0$, и добавляем их симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 12:
- Сохраняются участки на интервалах $[-4, 0]$ и $[2.5, 4)$.
- Эти участки отражаются симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из замкнутой кривой на отрезке $x \in [-4, 0]$ и двух ветвей, начинающихся в точках $(2.5, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямой $x=4$ (одна вверх, другая вниз).

г) $|y| = h(|x|)$

Берем часть графика $y=h(x)$ для $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем отражаем ее симметрично относительно обеих осей.

Применительно к графику на рис. 12:
- Берем участок правой части графика ($x \ge 0$), где $h(x) \ge 0$. Это точка $(0,0)$ и интервал $[2.5, 4)$.
- Отражаем участок $[2.5, 4)$ относительно оси $Oy$, получая симметричный участок на $(-4, -2.5]$.
- Все полученные части (две ветви и точка в начале координат) отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График симметричен относительно обеих осей. Он состоит из четырех ветвей, исходящих из точек $(2.5, 0), (-2.5, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямым $x=4$ и $x=-4$. Также в состав графика входит точка $(0,0)$.

Решения для функции $y = \phi(x)$ (рис. 13)

а) $y = |\phi(x)|$

Отражаем части графика $y = \phi(x)$, находящиеся под осью $Ox$, симметрично относительно этой оси.

Применительно к графику на рис. 13:
- Участки на интервалах $[-6, -4.5)$ и $(-1, 2.5)$ остаются без изменений.
- Участки на интервалах $(-4.5, -1)$ и $(2.5, 5]$ отражаются вверх. Локальный минимум в точке $(-3, -3)$ становится точкой излома в $(-3, 3)$. Конечная точка $(5, -3)$ переходит в $(5, 3)$.

Ответ: График $y = |\phi(x)|$ получается из исходного отражением его отрицательных частей (под осью $x$) относительно оси $x$.

б) $y = \phi(|x|)$

Сохраняем часть графика $y=\phi(x)$ для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$.

Применительно к графику на рис. 13:
- Правая часть графика (от $x=0$ до $x=5$) сохраняется. Она проходит через $(0,1)$, максимум в $(1, 2)$, корень в $x \approx 2.5$ и минимум в $(5, -3)$.
- Эта часть отражается влево. Появляется симметричный максимум в $(-1, 2)$, корень в $x \approx -2.5$ и минимум в $(-5, -3)$. График будет гладким в точке $(0,1)$.

Ответ: График симметричен относительно оси $y$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=\phi(x)$, для $x<0$ является его зеркальным отражением.

в) $|y| = \phi(x)$

Сохраняем только те части графика $y=\phi(x)$, где $\phi(x) \ge 0$, и добавляем их симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 13:
- Сохраняются участки на интервалах $[-6, -4.5]$ и $[-1, 2.5]$.
- Эти участки отражаются симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из двух частей, симметричных относительно оси $Ox$. Одна часть — кривая на отрезке $x \in [-6, -4.5]$, другая — замкнутая кривая на отрезке $x \in [-1, 2.5]$.

г) $|y| = \phi(|x|)$

Берем часть графика $y=\phi(x)$ для $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем отражаем ее симметрично относительно обеих осей.

Применительно к графику на рис. 13:
- Берем участок правой части графика ($x \ge 0$), где $\phi(x) \ge 0$. Это интервал $[0, 2.5]$.
- Отражаем его относительно оси $Oy$, получая симметричный участок на $[-2.5, 0]$.
- Получившуюся "шапку" на отрезке $[-2.5, 2.5]$ отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: Итоговый график представляет собой одну замкнутую кривую, расположенную на отрезке $x \in [-2.5, 2.5]$, симметричную относительно обеих координатных осей.