Номер 7.67, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.67. a) $\lfloor x \rfloor = x;$

б) $\lfloor x + 5 \rfloor = 1 - x;$

В) $\lfloor x \rfloor = \frac{x}{2};$

Г) $\lfloor \frac{x + 1}{4} \rfloor = x + 2.$

а) Уравнение: $[x] = x$.
По определению, $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Следовательно, значение $[x]$ всегда является целым числом. Для того чтобы равенство $[x] = x$ было верным, переменная $x$ сама должна быть целым числом.
Таким образом, решением уравнения являются все целые числа.
Ответ: $x \in \mathbb{Z}$ (где $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел).

б) Уравнение: $[x + 5] = 1 - x$.
Левая часть уравнения, $[x+5]$, по определению является целым числом. Следовательно, правая часть, $1-x$, также должна быть целым числом. Это возможно только если $x$ — целое число.
Если $x$ — целое число, то для него справедливо свойство $[x+n] = x+n$ для любого целого $n$. В нашем случае $n=5$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$x + 5 = 1 - x$
Решим это линейное уравнение:
$2x = 1 - 5$
$2x = -4$
$x = -2$
Поскольку $x=-2$ является целым числом, наше первоначальное предположение верно, и это является решением.
Проверка: $[(-2) + 5] = [3] = 3$. $1 - (-2) = 1 + 2 = 3$. Равенство $3=3$ верно.
Ответ: $x = -2$.

в) Уравнение: $[x] = \frac{x}{2}$.
Обозначим $[x] = k$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Тогда уравнение принимает вид $k = \frac{x}{2}$, откуда $x = 2k$.
Теперь используем основное свойство целой части: $k \le x < k + 1$.
Подставим в это неравенство выражение для $x$:
$k \le 2k < k + 1$
Это двойное неравенство можно разбить на два:
1) $k \le 2k \implies 0 \le k$
2) $2k < k + 1 \implies k < 1$
Объединяя оба условия, получаем $0 \le k < 1$.
Поскольку $k$ должно быть целым числом, единственное значение, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$.
Найдем $x$, зная, что $k=0$:
$x = 2k = 2 \cdot 0 = 0$.
Проверка: $[0] = 0$ и $\frac{0}{2} = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Ответ: $x = 0$.

г) Уравнение: $[\frac{x+1}{4}] = x+2$.
Левая часть уравнения по определению является целым числом. Следовательно, правая часть $x+2$ также должна быть целым числом. Это означает, что $x$ — целое число.
Воспользуемся определением целой части. Если $[\frac{x+1}{4}] = x+2$, то должно выполняться неравенство:
$x+2 \le \frac{x+1}{4} < (x+2)+1$
$x+2 \le \frac{x+1}{4} < x+3$
Решим это двойное неравенство, разбив его на систему из двух неравенств.
Первое неравенство:
$x+2 \le \frac{x+1}{4}$
$4(x+2) \le x+1$
$4x+8 \le x+1$
$3x \le -7$
$x \le -\frac{7}{3}$
Второе неравенство:
$\frac{x+1}{4} < x+3$
$x+1 < 4(x+3)$
$x+1 < 4x+12$
$-11 < 3x$
$x > -\frac{11}{3}$
Объединим результаты: $-\frac{11}{3} < x \le -\frac{7}{3}$.
В десятичной форме: $-3.66... < x \le -2.33...$.
Так как мы установили, что $x$ — целое число, единственное целое значение в этом интервале — это $x=-3$.
Проверка: Подставим $x=-3$ в исходное уравнение.
Левая часть: $[\frac{-3+1}{4}] = [\frac{-2}{4}] = [-0.5] = -1$.
Правая часть: $-3+2 = -1$.
Равенство $-1 = -1$ верно.
Ответ: $x = -3$.