Номер 7.52, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.52. Выполните в указанном порядке задания а) и б) и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества $E(f)$ значений функции $y = f(x)$, исследуя вопрос существования корней уравнения $f(x) = a$, а также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения $f(x) = a$, если известно $E(f)$.

а) Найдите область значений функции $y = x^2 - 4x - 1$ и определите, при каких значениях параметра $b$ уравнение $b = x^2 - 4x - 1$ имеет хотя бы один корень.

б) Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 + 4x - 3 = a$ имеет хотя бы один корень, и найдите область значений функции $y = x^2 + 4x - 3$.

а)

Сначала найдем область значений функции $y = x^2 - 4x - 1$.Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Своё наименьшее значение функция достигает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:$y_0 = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

Таким образом, область значений функции, обозначаемая $E(y)$, есть промежуток от наименьшего значения до плюс бесконечности: $E(y) = [-5; +\infty)$.

Теперь определим, при каких значениях параметра $b$ уравнение $b = x^2 - 4x - 1$ имеет хотя бы один корень.Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно $x$:$x^2 - 4x - 1 - b = 0$, или $x^2 - 4x - (1 + b) = 0$.

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).Для уравнения $ax^2+bx+c=0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-(1+b)$.$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(1+b)) = 16 + 4(1+b) = 16 + 4 + 4b = 20 + 4b$.

Решим неравенство $D \ge 0$:$20 + 4b \ge 0$$4b \ge -20$$b \ge -5$.

Следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень при $b \in [-5; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-5; +\infty)$. Уравнение $b = x^2 - 4x - 1$ имеет хотя бы один корень при $b \ge -5$.

б)

Сначала определим, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 + 4x - 3 = a$ имеет хотя бы один корень.Перенесем $a$ в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 4x - 3 - a = 0$, или $x^2 + 4x - (3 + a) = 0$.

Уравнение имеет хотя бы один корень при условии, что его дискриминант $D \ge 0$.Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-(3+a)$.$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(3+a)) = 16 + 4(3+a) = 16 + 12 + 4a = 28 + 4a$.

Решим неравенство $D \ge 0$:$28 + 4a \ge 0$$4a \ge -28$$a \ge -7$.

Уравнение имеет хотя бы один корень при $a \in [-7; +\infty)$.

Теперь найдем область значений функции $y = x^2 + 4x - 3$.Это парабола с ветвями вверх. Найдем координаты её вершины.Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции):$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7$.

Следовательно, область значений функции $E(y) = [-7; +\infty)$.

Ответ: Уравнение $x^2 + 4x - 3 = a$ имеет хотя бы один корень при $a \ge -7$. Область значений функции $E(y) = [-7; +\infty)$.

Обобщив результаты, полученные в пунктах а) и б), можно заметить, что множество значений параметра, при которых уравнение $f(x) = \text{параметр}$ имеет решение, совпадает с областью значений функции $y=f(x)$. На основе этого можно предложить следующие алгоритмы.

Алгоритм нахождения множества значений $E(f)$ функции $y = f(x)$, исследуя вопрос существования корней уравнения $f(x) = a$:

1. Составить уравнение $f(x) = a$, где $a$ является параметром.
2. Решить это уравнение относительно $x$. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет хотя бы одно действительное решение.
3. Множество найденных значений параметра $a$ является областью значений $E(f)$ функции $y = f(x)$.

Алгоритм исследования существования корней уравнения $f(x) = a$, если известно множество значений функции $E(f)$:

1. Рассмотреть уравнение $f(x) = a$ и известную область значений функции $E(f)$.
2. Уравнение $f(x) = a$ имеет хотя бы один действительный корень тогда и только тогда, когда значение $a$ принадлежит области значений функции $f(x)$.
3. Проверить условие $a \in E(f)$. Если условие выполняется, уравнение имеет корни. Если не выполняется, уравнение не имеет действительных корней.