Номер 8.14, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.14. Пусть функция $y = f(x)$ определена на интервале $(-1; 1)$ и возрастает на нём. Решите:

a) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$.

По условию, функция $y = f(x)$ определена и возрастает на интервале $(-1; 1)$. Это означает, что для любых $a$ и $b$ из этого интервала:

• если $f(a) = f(b)$, то $a = b$;

• если $f(a) < f(b)$, то $a < b$.

Кроме того, для существования значений функции $f(3x+2)$ и $f(4x^2+x)$, их аргументы должны принадлежать области определения функции, то есть интервалу $(-1; 1)$. Это приводит к системе ограничений:

$$ \begin{cases} -1 < 3x + 2 < 1 \\ -1 < 4x^2 + x < 1 \end{cases} $$

Решим эту систему, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) для $x$.

1. Первое неравенство: $-1 < 3x + 2 < 1$

Вычтем 2 из всех частей: $-1 - 2 < 3x < 1 - 2$, что дает $-3 < 3x < -1$.

Разделим на 3: $-1 < x < -1/3$. Итак, $x \in (-1; -1/3)$.

2. Второе неравенство: $-1 < 4x^2 + x < 1$

Это эквивалентно системе из двух неравенств:

а) $4x^2 + x > -1 \implies 4x^2 + x + 1 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$. Так как старший коэффициент $4 > 0$ и $D < 0$, трехчлен $4x^2 + x + 1$ положителен при любых значениях $x$.

б) $4x^2 + x < 1 \implies 4x^2 + x - 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $4x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$.

Так как ветви параболы $y = 4x^2 + x - 1$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + x - 1 < 0$ выполняется между корнями: $\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} < x < \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}$.

Итак, решение второго двойного неравенства: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{8})$.

Теперь найдем пересечение решений (ОДЗ): $x \in (-1; -1/3) \cap (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{8})$.

Оценим значения: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.

$\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 - 4.12}{8} \approx -0.64$.

$\frac{-1 + \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 + 4.12}{8} \approx 0.39$.

$-1/3 \approx -0.33$.

Сравнивая границы интервалов, получаем, что ОДЗ для $x$ есть интервал $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

а) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$

Поскольку функция $f$ возрастает, равенство значений функции равносильно равенству их аргументов:

$3x + 2 = 4x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$4x^2 - 2x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Найдем корни. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -1/2$

Теперь нужно проверить, принадлежат ли найденные корни найденной ранее ОДЗ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

• Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 > -1/3$. Этот корень является посторонним.

• Корень $x_2 = -1/2 = -0.5$. Сравним его с границами ОДЗ: $\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \approx -0.64$ и $-1/3 \approx -0.33$. Видно, что $-0.64 < -0.5 < -0.33$, значит $x_2 = -1/2$ принадлежит ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = -1/2$.

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$

Так как функция $f$ возрастает, данное неравенство равносильно неравенству для их аргументов:

$3x + 2 < 4x^2 + x$

Решение этого неравенства должно также удовлетворять ОДЗ, которую мы нашли ранее: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

Решим неравенство:

$0 < 4x^2 - 2x - 2$

$2x^2 - x - 1 > 0$

Корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$ мы нашли в пункте а): $x_1 = 1$ и $x_2 = -1/2$.

Поскольку ветви параболы $y = 2x^2 - x - 1$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$x < -1/2$ или $x > 1$.

В виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

Пересечение множества $(-\infty; -1/2) \cup (1; +\infty)$ с интервалом $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$:

• Пересечение с $(1; +\infty)$ пусто, так как верхняя граница ОДЗ $-1/3 < 1$.

• Пересечение с $(-\infty; -1/2)$ дает интервал от нижней границы ОДЗ до $-1/2$.

Таким образом, итоговое решение есть интервал $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/2)$.

Ответ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/2)$.