Страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.12. Пусть функция $y = f(x)$ возрастает на $R$. Решите:

а) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$;

в) уравнение $f(3x - 48) = f(-x^2 + x)$;

г) неравенство $f(3x - 48) \le f(-x^2 + x)$.

а) Решим уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$.

Поскольку функция $y = f(x)$ возрастает на множестве всех действительных чисел $R$, равенство значений функции возможно тогда и только тогда, когда равны их аргументы. Следовательно, данное уравнение равносильно следующему:

$3x + 2 = 4x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 + x - 3x - 2 = 0$

$4x^2 - 2x - 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $x = -0.5; 1$.

б) Решим неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$.

Так как функция $f(x)$ возрастает на $R$, то $f(a) < f(b)$ тогда и только тогда, когда $a < b$. Поэтому данное неравенство равносильно следующему:

$3x + 2 < 4x^2 + x$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < 4x^2 - 2x - 2$

Разделим обе части на 2:

$2x^2 - x - 1 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Как было найдено в пункте а), корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -0.5$. Графиком функции $y = 2x^2 - x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Значения функции будут положительными (больше нуля) за пределами интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -0.5$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (1; +\infty)$.

в) Решим уравнение $f(3x - 48) = f(-x^2 + x)$.

В силу возрастания функции $f(x)$ на $R$, уравнение равносильно равенству аргументов:

$3x - 48 = -x^2 + x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 3x - 48 = 0$

$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два корня, сумма которых равна $-2$, а произведение равно $-48$. Этими числами являются $6$ и $-8$.

Корни уравнения: $x_1 = 6$, $x_2 = -8$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x = -8; 6$.

г) Решим неравенство $f(3x - 48) \le f(-x^2 + x)$.

Поскольку функция $f(x)$ является возрастающей на $R$, неравенство $f(a) \le f(b)$ равносильно неравенству $a \le b$. Таким образом, получаем:

$3x - 48 \le -x^2 + x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x - 48 \le 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся корнями соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$, которые мы нашли в пункте в): $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-8 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [-8; 6]$.

8.13. Пусть функция $y = f(x)$ убывает на $\mathbb{R}$. Решите:

a) уравнение $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) = f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$;

б) неравенство $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) \ge f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$.

По условию, функция $y = f(x)$ убывает на $\mathbb{R}$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции выполняются следующие соотношения:

• $f(x_1) = f(x_2)$ тогда и только тогда, когда $x_1 = x_2$.
• $f(x_1) \ge f(x_2)$ тогда и только тогда, когда $x_1 \le x_2$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Прежде чем решать уравнение и неравенство, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы функции $f(x)$ должны быть определены, следовательно, знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $3x^2 + 4x - 7 \ne 0$. Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 4x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$; $x_2 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Таким образом, $x \ne -\frac{7}{3}$ и $x \ne 1$.

2. $2x^2 + 3x - 5 \ne 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$; $x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Таким образом, $x \ne -\frac{5}{2}$ и $x \ne 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{5}{2}, -\frac{7}{3}, 1\}$.

а) уравнение

Исходное уравнение: $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) = f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$.

Так как функция $f(x)$ убывающая, равенство значений функции возможно только при равенстве их аргументов. Следовательно, уравнение равносильно следующему:

$\frac{1}{3x^2 + 4x - 7} = \frac{1}{2x^2 + 3x - 5}$

Это равенство (с учетом ОДЗ) эквивалентно равенству знаменателей:

$3x^2 + 4x - 7 = 2x^2 + 3x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (4x - 3x) + (-7 + 5) = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ne -\frac{5}{2}, x \ne -\frac{7}{3}, x \ne 1$).

• Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Это посторонний корень.
• Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-2$.

б) неравенство

Исходное неравенство: $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) \ge f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$.

Так как функция $f(x)$ убывающая, знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:

$\frac{1}{3x^2 + 4x - 7} \le \frac{1}{2x^2 + 3x - 5}$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{1}{3x^2 + 4x - 7} - \frac{1}{2x^2 + 3x - 5} \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(2x^2 + 3x - 5) - (3x^2 + 4x - 7)}{(3x^2 + 4x - 7)(2x^2 + 3x - 5)} \le 0$

Упростим числитель:

$\frac{-x^2 - x + 2}{(3x^2 + 4x - 7)(2x^2 + 3x - 5)} \le 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$\frac{x^2 + x - 2}{(3x^2 + 4x - 7)(2x^2 + 3x - 5)} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатели на множители, используя найденные ранее корни:

$\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(3x + 7) \cdot (x - 1)(2x + 5)} \ge 0$

Так как по ОДЗ $x \ne 1$, то $x-1 \ne 0$. Мы можем сократить дробь на $(x-1)$, но нужно учесть, что в знаменателе остается $(x-1)$. Неравенство принимает вид:

$\frac{x + 2}{(x-1)(3x+7)(2x+5)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• Нуль числителя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
• Нули знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$; $3x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$; $2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=-2$ будет закрашенной (входит в решение), а точки $x=1, x=-\frac{7}{3}, x=-\frac{5}{2}$ будут выколотыми (не входят в решение). Расположим точки в порядке возрастания: $-\frac{5}{2}$ (-2.5), $-\frac{7}{3}$ (?-2.33), $-2$, $1$.

Определим знаки выражения в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2+2}{(2-1)(3\cdot2+7)(2\cdot2+5)} = \frac{(+)}{(+)(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0+2}{(0-1)(0+7)(0+5)} = \frac{(+)}{(-)(+)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $-\frac{7}{3} < x < -2$ (например, $x=-2.1$): $\frac{-2.1+2}{(-2.1-1)(-2.1\cdot3+7)(-2.1\cdot2+5)} = \frac{(-)}{(-)(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $-\frac{5}{2} < x < -\frac{7}{3}$ (например, $x=-2.4$): $\frac{-2.4+2}{(-2.4-1)(-2.4\cdot3+7)(-2.4\cdot2+5)} = \frac{(-)}{(-)(-)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -\frac{5}{2}$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+2}{(-3-1)(-3\cdot3+7)(-3\cdot2+5)} = \frac{(-)}{(-)(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение неотрицательно, и учитываем, что точка $x=-2$ является решением.

Получаем решение: $x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup (-\frac{7}{3}, -2] \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2.5) \cup (-\frac{7}{3}; -2] \cup (1; +\infty)$.

8.14. Пусть функция $y = f(x)$ определена на интервале $(-1; 1)$ и возрастает на нём. Решите:

a) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$.

По условию, функция $y = f(x)$ определена и возрастает на интервале $(-1; 1)$. Это означает, что для любых $a$ и $b$ из этого интервала:

• если $f(a) = f(b)$, то $a = b$;

• если $f(a) < f(b)$, то $a < b$.

Кроме того, для существования значений функции $f(3x+2)$ и $f(4x^2+x)$, их аргументы должны принадлежать области определения функции, то есть интервалу $(-1; 1)$. Это приводит к системе ограничений:

$$ \begin{cases} -1 < 3x + 2 < 1 \\ -1 < 4x^2 + x < 1 \end{cases} $$

Решим эту систему, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) для $x$.

1. Первое неравенство: $-1 < 3x + 2 < 1$

Вычтем 2 из всех частей: $-1 - 2 < 3x < 1 - 2$, что дает $-3 < 3x < -1$.

Разделим на 3: $-1 < x < -1/3$. Итак, $x \in (-1; -1/3)$.

2. Второе неравенство: $-1 < 4x^2 + x < 1$

Это эквивалентно системе из двух неравенств:

а) $4x^2 + x > -1 \implies 4x^2 + x + 1 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$. Так как старший коэффициент $4 > 0$ и $D < 0$, трехчлен $4x^2 + x + 1$ положителен при любых значениях $x$.

б) $4x^2 + x < 1 \implies 4x^2 + x - 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $4x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$.

Так как ветви параболы $y = 4x^2 + x - 1$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + x - 1 < 0$ выполняется между корнями: $\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} < x < \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}$.

Итак, решение второго двойного неравенства: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{8})$.

Теперь найдем пересечение решений (ОДЗ): $x \in (-1; -1/3) \cap (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{8})$.

Оценим значения: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.

$\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 - 4.12}{8} \approx -0.64$.

$\frac{-1 + \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 + 4.12}{8} \approx 0.39$.

$-1/3 \approx -0.33$.

Сравнивая границы интервалов, получаем, что ОДЗ для $x$ есть интервал $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

а) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$

Поскольку функция $f$ возрастает, равенство значений функции равносильно равенству их аргументов:

$3x + 2 = 4x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$4x^2 - 2x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Найдем корни. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -1/2$

Теперь нужно проверить, принадлежат ли найденные корни найденной ранее ОДЗ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

• Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 > -1/3$. Этот корень является посторонним.

• Корень $x_2 = -1/2 = -0.5$. Сравним его с границами ОДЗ: $\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \approx -0.64$ и $-1/3 \approx -0.33$. Видно, что $-0.64 < -0.5 < -0.33$, значит $x_2 = -1/2$ принадлежит ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = -1/2$.

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$

Так как функция $f$ возрастает, данное неравенство равносильно неравенству для их аргументов:

$3x + 2 < 4x^2 + x$

Решение этого неравенства должно также удовлетворять ОДЗ, которую мы нашли ранее: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

Решим неравенство:

$0 < 4x^2 - 2x - 2$

$2x^2 - x - 1 > 0$

Корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$ мы нашли в пункте а): $x_1 = 1$ и $x_2 = -1/2$.

Поскольку ветви параболы $y = 2x^2 - x - 1$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$x < -1/2$ или $x > 1$.

В виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$.

Пересечение множества $(-\infty; -1/2) \cup (1; +\infty)$ с интервалом $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/3)$:

• Пересечение с $(1; +\infty)$ пусто, так как верхняя граница ОДЗ $-1/3 < 1$.

• Пересечение с $(-\infty; -1/2)$ дает интервал от нижней границы ОДЗ до $-1/2$.

Таким образом, итоговое решение есть интервал $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/2)$.

Ответ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}; -1/2)$.

8.15. Пусть функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-1; 1]$ и убывает на нём. Решите:

а) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$.

Поскольку функция $y = f(x)$ определена на отрезке [-1; 1], ее аргументы, то есть выражения $(3x + 2)$ и $(4x^2 + x)$, должны принадлежать этому отрезку. Это значит, что для решения как уравнения, так и неравенства, необходимо, чтобы одновременно выполнялись следующие условия (это будет область допустимых значений - ОДЗ):

$ \begin{cases} -1 \le 3x + 2 \le 1 \\ -1 \le 4x^2 + x \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:
$ -1 \le 3x + 2 \le 1 $
Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$ -1 - 2 \le 3x \le 1 - 2 $
$ -3 \le 3x \le -1 $
Разделим все части на 3:
$ -1 \le x \le -\frac{1}{3} $

Решим второе неравенство системы $ -1 \le 4x^2 + x \le 1 $, которое можно представить в виде системы из двух квадратичных неравенств:

1) $ 4x^2 + x \ge -1 \implies 4x^2 + x + 1 \ge 0 $.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$. Так как старший коэффициент (4) положителен, а дискриминант отрицателен, парабола $y = 4x^2 + x + 1$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

2) $ 4x^2 + x \le 1 \implies 4x^2 + x - 1 \le 0 $.
Найдем корни уравнения $4x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
Так как ветви параболы $y = 4x^2 + x - 1$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + x - 1 \le 0$ выполняется для значений $x$ между корнями (включая сами корни): $x \in [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}]$.

Теперь найдем пересечение полученных решений, чтобы определить общую ОДЗ для $x$:
$ x \in [-1, -\frac{1}{3}] \cap [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}] $.
Оценим значения: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.
$\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 - 4.12}{8} \approx -0.64$. Это значение больше -1.
$\frac{-1 + \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 + 4.12}{8} \approx 0.39$. Это значение больше $-\frac{1}{3} \approx -0.333$.
Следовательно, пересечением является отрезок $ [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, -\frac{1}{3}] $. Это и есть ОДЗ.

а) уравнение f(3x + 2) = f(4x? + x)

Так как функция $f(x)$ убывает на своей области определения, она является взаимно-однозначной (инъективной). Поэтому равенство значений функции $f(a) = f(b)$ возможно тогда и только тогда, когда равны их аргументы: $a = b$.
Приравняем аргументы функции:
$ 3x + 2 = 4x^2 + x $
$ 4x^2 - 2x - 2 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ 2x^2 - x - 1 = 0 $
Найдем корни. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, -\frac{1}{3}]$.
Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 > -\frac{1}{3}$.
Проверим корень $x_2 = -\frac{1}{2}$. Сравним его с границами ОДЗ:
$\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \le -\frac{1}{2} \iff -1 - \sqrt{17} \le -4 \iff 3 \le \sqrt{17} \iff 9 \le 17$. Неравенство верно.
$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{3} \iff -3 \le -2$. Неравенство верно.
Следовательно, корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

б) неравенство f(3x + 2) < f(4x? + x)

Поскольку функция $f(x)$ является убывающей, то для любых $a$ и $b$ из ее области определения неравенство $f(a) < f(b)$ равносильно неравенству $a > b$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:
$ 3x + 2 > 4x^2 + x $
$ 0 > 4x^2 - 2x - 2 $
$ 2x^2 - x - 1 < 0 $
Корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$ мы нашли в пункте а): $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Так как ветви параболы $y = 2x^2 - x - 1$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-\frac{1}{2}, 1)$.

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение этого решения с ОДЗ, то есть $x \in [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, -\frac{1}{3}]$.

8.16. Докажите:

а) если функция $y = f(x)$ возрастает или убывает на промежутке $X$, то уравнение $f(x) = a$ не может иметь более одного корня на $X$;

б) если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, а функция $y = g(x)$ убывает на промежутке $X$, то уравнение $f(x) = g(x)$ не может иметь более одного корня на $X$.

а)

Доказательство проведем методом от противного. Функция, которая возрастает или убывает на промежутке, называется строго монотонной. Нужно доказать, что строго монотонная функция каждое свое значение принимает только один раз.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Функция $y=f(x)$ возрастает на промежутке X.

По определению, если функция возрастает на промежутке X, то для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Предположим, что уравнение $f(x) = a$ имеет на промежутке X более одного корня. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных корня этого уравнения на промежутке X ($x_1 \neq x_2$). Это означает, что $f(x_1) = a$ и $f(x_2) = a$, и, следовательно, $f(x_1) = f(x_2)$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ — различные числа, одно из них меньше другого. Пусть, для определенности, $x_1 < x_2$.

Так как функция $f(x)$ возрастает на X и $x_1 < x_2$, то по определению возрастающей функции должно выполняться неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Мы получили противоречие: с одной стороны, $f(x_1) = f(x_2)$, а с другой — $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании более одного корня неверно.

Случай 2: Функция $y=f(x)$ убывает на промежутке X.

По определению, если функция убывает на промежутке X, то для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Аналогично первому случаю, предположим, что существуют два различных корня $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$) на промежутке X, и пусть $x_1 < x_2$. Тогда $f(x_1) = a$ и $f(x_2) = a$, что означает $f(x_1) = f(x_2)$.

Но так как функция $f(x)$ убывает на X и $x_1 < x_2$, то по определению убывающей функции должно выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Мы снова пришли к противоречию: $f(x_1) = f(x_2)$ и $f(x_1) > f(x_2)$. Это означает, что наше предположение неверно.

В обоих случаях мы доказали, что уравнение $f(x) = a$ не может иметь более одного корня на промежутке X, если функция на этом промежутке строго монотонна.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим уравнение $f(x) = g(x)$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить равносильное уравнение $f(x) - g(x) = 0$.

Введем новую функцию $h(x) = f(x) - g(x)$. Теперь задача состоит в том, чтобы доказать, что уравнение $h(x) = 0$ не может иметь более одного корня на промежутке X.

Согласно утверждению из пункта а), если мы докажем, что функция $h(x)$ является строго монотонной (возрастающей или убывающей) на промежутке X, то уравнение $h(x) = 0$ не сможет иметь более одного корня.

Исследуем монотонность функции $h(x)$.

По условию, функция $f(x)$ возрастает на промежутке X. Это означает, что для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Также по условию, функция $g(x)$ убывает на промежутке X. Это означает, что для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.

Умножим обе части последнего неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-g(x_1) < -g(x_2)$.

Теперь рассмотрим разность $h(x_2) - h(x_1)$ для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$:

$h(x_2) - h(x_1) = (f(x_2) - g(x_2)) - (f(x_1) - g(x_1)) = (f(x_2) - f(x_1)) + (-g(x_2) - (-g(x_1))) = (f(x_2) - f(x_1)) - (g(x_2) - g(x_1))$

Или, что то же самое, $h(x) = f(x) + (-g(x))$. Поскольку $f(x)$ возрастает, а $-g(x)$ также возрастает, их сумма $h(x)$ является возрастающей функцией.

Продемонстрируем это формально. Сложим два верных неравенства для $x_1 < x_2$:
$f(x_1) < f(x_2)$
$-g(x_1) < -g(x_2)$
Получаем: $f(x_1) - g(x_1) < f(x_2) - g(x_2)$, что эквивалентно $h(x_1) < h(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $h(x_1) < h(x_2)$. Это по определению означает, что функция $h(x)$ строго возрастает на промежутке X.

Так как функция $h(x)$ является возрастающей на X, то по доказанному в пункте а) утверждению, уравнение $h(x) = 0$ (а значит, и исходное уравнение $f(x) = g(x)$) не может иметь более одного корня на промежутке X.

Ответ: Утверждение доказано.

Решите уравнение:

8.17. a) $x^3 = 2 - x$;

б) $x^3 = 10 - x$;

в) $\sqrt{x+1} = 5 - x$;

г) $3x = \sqrt{10 - x}$.

а) $x^3 = 2 - x$

Перепишем уравнение, перенеся все члены с $x$ в левую часть: $x^3 + x = 2$.

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = x^3 + x$. Эта функция является суммой двух строго возрастающих на всей числовой оси функций ($y_1=x^3$ и $y_2=x$), следовательно, функция $f(x)$ также является строго возрастающей. Это означает, что каждое свое значение она может принимать только один раз, поэтому уравнение $f(x)=2$ имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые числа. При $x=1$ получаем:

$1^3 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Равенство $2=2$ является верным, значит $x=1$ — корень уравнения. Так как этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $1$

б) $x^3 = 10 - x$

Перенесем $x$ в левую часть: $x^3 + x = 10$.

Функция $f(x) = x^3 + x$ является строго возрастающей (как показано в пункте а)), поэтому уравнение $f(x)=10$ имеет не более одного решения.

Подберем корень. При $x=2$ получаем:

$2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

Равенство $10=10$ верно, следовательно, $x=2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $2$

в) $\sqrt{x+1} = 5 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1, 5]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = (5-x)^2$

$x+1 = 25 - 10x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 11x + 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а их произведение равно $24$. Корнями являются $x_1=3$ и $x_2=8$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $x \in [-1, 5]$:

• $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \le 3 \le 5$.
• $x_2 = 8$ не принадлежит ОДЗ, так как $8 > 5$. Это посторонний корень.

Таким образом, решением является только $x=3$.

Ответ: $3$

г) $3x = \sqrt{10-x}$

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$. Так как правая часть (арифметический корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $3x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$. ОДЗ уравнения: $x \in [0, 10]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3x)^2 = (\sqrt{10-x})^2$

$9x^2 = 10-x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 + x - 10 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-10) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 19}{18}$.

$x_1 = \frac{-1+19}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$x_2 = \frac{-1-19}{18} = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9}$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [0, 10]$:

• $x_1=1$ принадлежит ОДЗ.
• $x_2 = -\frac{10}{9}$ не принадлежит ОДЗ, так как $-\frac{10}{9} < 0$. Это посторонний корень.

Единственным решением является $x=1$.

Ответ: $1$

8.18. a) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 5} = 23 - 2x$;

б) $\frac{5}{x + 1} = 8\sqrt{x}$;

в) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 3} = 43 - 6x - x^2$;

г) $(x^2 + 4x + 9)\sqrt{4x + 1} = 9$.

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt{x-5} = 23 - 2x$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а также левая часть (сумма корней) неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной.
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \\ 23 - 2x \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 5 \\ 2x \le 23 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 11.5 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $x \in [5; 11.5]$.
Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения.
Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x-5}$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, $f(x)$ — строго возрастающая функция на всей своей области определения.
Функция $g(x) = 23 - 2x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, $g(x)$ — убывающая функция.
Уравнение, в котором возрастающая функция равна убывающей, может иметь не более одного решения.
Попробуем найти корень методом подбора, учитывая ОДЗ. Выберем целое значение, например, $x=9$.
Подставим $x=9$ в исходное уравнение:
$\sqrt{9} + \sqrt{9-5} = 23 - 2 \cdot 9$
$3 + \sqrt{4} = 23 - 18$
$3 + 2 = 5$
$5 = 5$
Равенство верное, значит $x=9$ является корнем уравнения. Поскольку решение единственное, это и есть ответ.
Ответ: 9

б) Исходное уравнение: $\frac{5}{x+1} = 8\sqrt{x}$.
ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за корня) и $x+1 \ne 0$, т.е. $x \ne -1$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
При $x \ge 0$ правая часть $8\sqrt{x} \ge 0$, левая часть $\frac{5}{x+1} > 0$. Знаки совпадают.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$. Условие $x \ge 0$ означает $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$\frac{5}{t^2+1} = 8t$
$5 = 8t(t^2+1)$
$5 = 8t^3 + 8t$
$8t^3 + 8t - 5 = 0$
Это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональный корень. Проверим $t = 1/2$:
$8 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 8 \cdot (\frac{1}{2}) - 5 = 8 \cdot \frac{1}{8} + 4 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.
Корень $t=1/2$ найден. Разделим многочлен $8t^3 + 8t - 5$ на $(2t-1)$:
$(2t-1)(4t^2 + 2t + 5) = 0$.
Рассмотрим квадратное уравнение $4t^2 + 2t + 5 = 0$. Его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 4 - 80 = -76 < 0$. Действительных корней нет.
Следовательно, единственное действительное решение для $t$ это $t=1/2$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt{x} = t = 1/2$
$x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = 43 - 6x - x^2$.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \\ 43 - 6x - x^2 \ge 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств следует $x \ge 3$.
Решим третье неравенство: $x^2 + 6x - 43 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 43 = 0$:
$D = 6^2 - 4(1)(-43) = 36 + 172 = 208 = 16 \cdot 13$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{208}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{13}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{13}$.
Неравенство выполняется при $x \in [-3 - 2\sqrt{13}; -3 + 2\sqrt{13}]$.
Приближенно $3.6 < \sqrt{13} < 3.7$, поэтому $-3 + 2\sqrt{13} \approx -3 + 2 \cdot 3.6 = 4.2$.
Пересекая с условием $x \ge 3$, получаем ОДЗ: $x \in [3; -3 + 2\sqrt{13}]$.
Левая часть $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x-3}$ является возрастающей функцией на ОДЗ.
Правая часть $g(x) = -x^2 - 6x + 43$ — парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $x = -(-6)/(2(-1)) = -3$. На промежутке $[3, \infty)$, который включает нашу ОДЗ, функция $g(x)$ убывает.
Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем его подбором. В ОДЗ $x \in [3; \approx 4.2]$ есть только одно целое число: $x=4$. Проверим его:
$\sqrt{4} + \sqrt{4-3} = 43 - 6 \cdot 4 - 4^2$
$2 + \sqrt{1} = 43 - 24 - 16$
$3 = 43 - 40$
$3=3$
Равенство верное, значит $x=4$ — единственный корень.
Ответ: 4

г) Исходное уравнение: $(x^2 + 4x + 9)\sqrt{4x+1} = 9$.
ОДЗ: $4x+1 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge -1 \Rightarrow x \ge -1/4$.
Рассмотрим множитель $(x^2 + 4x + 9)$. Это квадратный трехчлен. Его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 < 0$. Так как старший коэффициент (при $x^2$) положителен, этот трехчлен всегда принимает положительные значения.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x^2 + 4x + 9)\sqrt{4x+1}$.
На области определения $x \ge -1/4$:
Множитель $x^2 + 4x + 9 = (x+2)^2 + 5$. Вершина параболы в $x=-2$. На промежутке $[-1/4, \infty)$ эта функция возрастает.
Множитель $\sqrt{4x+1}$ также является возрастающей функцией.
Произведение двух положительных возрастающих функций есть функция возрастающая.
Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на своей ОДЗ, и уравнение $f(x)=9$ может иметь не более одного решения.
Попробуем найти решение подбором. Проверим $x=0$, которое входит в ОДЗ.
$(0^2 + 4 \cdot 0 + 9)\sqrt{4 \cdot 0 + 1} = 9 \cdot \sqrt{1} = 9$.
$9 = 9$.
Равенство верное, следовательно $x=0$ — корень уравнения. Так как он единственный, это и есть ответ.
Ответ: 0