Страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.37. Найдите область определения функции и исследуйте её на чётность и нечётность:

а) $y = \frac{x^2}{1+x} + \frac{x^2}{1-x};$

б) $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \sqrt{x^2 - 2x - 3};$

в) $y = \frac{x^2}{1+x} - \frac{x^2}{1-x};$

г) $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - \sqrt{x^2 - 2x - 3}.$

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2}{1+x} + \frac{x^2}{1-x}$.

Найдём область определения функции.
Функция определена, если знаменатели дробей не равны нулю. Это приводит к системе условий:
$1+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$1-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = -1$ и $x = 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат (если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$). Найдём значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)} + \frac{(-x)^2}{1-(-x)} = \frac{x^2}{1-x} + \frac{x^2}{1+x}$.
Сравнивая с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Можно также привести функцию к общему знаменателю:
$y = \frac{x^2(1-x) + x^2(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{x^2 - x^3 + x^2 + x^3}{1-x^2} = \frac{2x^2}{1-x^2}$.
Для этого вида $y(-x) = \frac{2(-x)^2}{1-(-x)^2} = \frac{2x^2}{1-x^2} = y(x)$, что подтверждает чётность.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$; функция чётная.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найдём область определения функции.
Функция определена, если выражения под знаками квадратного корня неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 3 \ge 0 \end{cases}$
1. Решим неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$. Корни квадратного трёхчлена $x^2 + 2x - 3 = 0$ — это $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Парабола $y=x^2+2x-3$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.
2. Решим неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Корни квадратного трёхчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$ — это $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Парабола $y=x^2-2x-3$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.
Область определения функции — это пересечение найденных множеств: $( (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -1] \cup [3; +\infty) )$.
Пересечением является множество $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.
Таким образом, $D(y) = (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 2(-x) - 3} + \sqrt{(-x)^2 - 2(-x) - 3} = \sqrt{x^2 - 2x - 3} + \sqrt{x^2 + 2x - 3}$.
Сравнивая с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$; функция чётная.

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2}{1+x} - \frac{x^2}{1-x}$.

Найдём область определения функции.
Как и в пункте а), знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \neq -1$ и $x \neq 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)} - \frac{(-x)^2}{1-(-x)} = \frac{x^2}{1-x} - \frac{x^2}{1+x} = -(\frac{x^2}{1+x} - \frac{x^2}{1-x}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Можно также привести функцию к общему знаменателю:
$y = \frac{x^2(1-x) - x^2(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{x^2 - x^3 - x^2 - x^3}{1-x^2} = \frac{-2x^3}{1-x^2}$.
Для этого вида $y(-x) = \frac{-2(-x)^3}{1-(-x)^2} = \frac{2x^3}{1-x^2} = -y(x)$, что подтверждает нечётность.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$; функция нечётная.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найдём область определения функции.
Как и в пункте б), выражения под корнями должны быть неотрицательны:
$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 3 \ge 0 \end{cases}$
Решением системы является множество $D(y) = (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 2(-x) - 3} - \sqrt{(-x)^2 - 2(-x) - 3} = \sqrt{x^2 - 2x - 3} - \sqrt{x^2 + 2x - 3}$.
$y(-x) = -(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - \sqrt{x^2 - 2x - 3}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$; функция нечётная.

8.38. Докажите, что функция $y = 2\sqrt{x^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - x^2}$ является и чётной, и нечётной. Придумайте ещё примеры аналогичных функций. Подумайте, какой общий вид функции, являющейся и чётной, и нечётной.

Докажите, что функция $y = 2\sqrt{x^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - x^2}$ является и чётной, и нечётной.

Чтобы исследовать функцию на чётность и нечётность, сначала найдём её область определения $D(y)$. Функция определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны:

$ \begin{cases} x^4 - 1 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x^4 \ge 1 \\ x^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} |x| \ge 1 \\ |x| \le 1 \end{cases} $

Единственные значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, это те, для которых $|x| = 1$. Таким образом, область определения функции состоит всего из двух точек: $D(y) = \{-1, 1\}$.

Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат (если $x=1 \in D(y)$, то и $-x=-1 \in D(y)$), что является необходимым условием для чётности или нечётности функции.

Теперь найдём значения функции в этих точках:

При $x=1$:
$y(1) = 2\sqrt{1^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - 1^2} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$.

При $x=-1$:
$y(-1) = 2\sqrt{(-1)^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - (-1)^2} = 2\sqrt{1 - 1} + \sqrt[4]{1 - 1} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$.

Теперь проверим выполнение определений чётной и нечётной функции для всех $x \in D(y)$.

1. Проверка на чётность: Функция является чётной, если $y(-x) = y(x)$.
Проверяем для $x=1$: $y(-1) = 0$ и $y(1) = 0$. Так как $y(-1) = y(1)$, функция является чётной.

2. Проверка на нечётность: Функция является нечётной, если $y(-x) = -y(x)$.
Проверяем для $x=1$: $y(-1) = 0$ и $-y(1) = -0 = 0$. Так как $y(-1) = -y(1)$, функция является нечётной.

Поскольку оба условия выполняются для всех точек из области определения, данная функция является одновременно и чётной, и нечётной.

Ответ: Функция определена только для $x=-1$ и $x=1$, где её значения равны нулю. Для этой функции выполняются оба условия: $y(-1) = y(1) = 0$ (чётность) и $y(-1) = -y(1) = 0$ (нечётность), следовательно, она является и чётной, и нечётной.

Придумайте ещё примеры аналогичных функций.

Основная идея таких функций заключается в том, что их область определения является симметричным относительно нуля множеством, и на всей этой области определения функция тождественно равна нулю. Вот несколько примеров, построенных по этому принципу:

1. $y = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2}$.
Область определения находится из системы: $ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \implies |x| \ge 2 \\ 4 - x^2 \ge 0 \implies |x| \le 2 \end{cases} $
Решением является $|x|=2$, то есть $D(y) = \{-2, 2\}$. На этой области $y(-2) = y(2) = 0$. Функция является и чётной, и нечётной.

2. $y = \sqrt{|x|-a} + \sqrt[4]{a-|x|}$ (где $a > 0$ - любое положительное число).
Область определения: $|x|=a$, то есть $D(y) = \{-a, a\}$. На этой области $y(-a) = y(a) = 0$. Функция является и чётной, и нечётной.

3. $y = \sqrt{\sin^2(\pi x) - 1}$.
Область определения: $\sin^2(\pi x) - 1 \ge 0 \implies \sin^2(\pi x) \ge 1$. Так как $\sin^2(\pi x) \le 1$, единственное возможное решение - это $\sin^2(\pi x) = 1$. Это означает, что $\sin(\pi x) = \pm 1$, то есть $\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целых $k$. Следовательно, $x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(y) = \{\dots, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, \dots\}$ является симметричным множеством. Для всех $x$ из $D(y)$ значение функции $y(x) = \sqrt{1-1} = 0$. Следовательно, эта функция также является и чётной, и нечётной.

Ответ: Примеры функций, являющихся одновременно чётными и нечётными: $y = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2}$; $y = \sqrt{|x|-a} + \sqrt[4]{a-|x|}$ (при $a>0$); $y = \sqrt{\sin^2(\pi x) - 1}$.

Подумайте, какой общий вид функции, являющейся и чётной, и нечётной.

Пусть функция $y = f(x)$ является одновременно и чётной, и нечётной.

Это означает, что её область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля, и для любого $x \in D(f)$ должны выполняться два равенства:

1. $f(-x) = f(x)$ (свойство чётной функции)
2. $f(-x) = -f(x)$ (свойство нечётной функции)

Приравнивая правые части этих равенств, получаем: $f(x) = -f(x)$

Перенесём все члены в одну сторону: $f(x) + f(x) = 0$

$2f(x) = 0$

$f(x) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения функции $D(f)$.

Таким образом, любая функция, которая является одновременно и чётной, и нечётной, — это функция, тождественно равная нулю ($f(x)=0$) на всей своей области определения, причём эта область определения должна быть симметрична относительно начала координат.

Ответ: Единственная функция, которая является одновременно и чётной, и нечётной, — это функция $y = 0$, заданная на симметричной относительно нуля области определения.

8.39. Докажите, что функция $ y = \begin{cases} x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+2} & \text{при } x < 0 \text{ и } x \ne -2; \\ 2x^2 - x^4 + \frac{17}{x-2} & \text{при } x > 0 \text{ и } x \ne 2 \end{cases} $ — нечётная.

Для того чтобы доказать, что функция $y(x)$ является нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции, $D(y)$, должна быть симметричной относительно начала координат. Это означает, что если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$.

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $y(-x) = -y(x)$.

1. Проверка симметричности области определения

Область определения функции задаётся условиями: $x < 0$ и $x \neq -2$, а также $x > 0$ и $x \neq 2$. Таким образом, функция не определена в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Область определения $D(y)$ можно записать как объединение интервалов: $D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Эта область является симметричной относительно нуля. Если взять любое число $x$ из $D(y)$, то противоположное ему число $-x$ также будет принадлежать $D(y)$. Следовательно, первое условие выполняется.

2. Проверка выполнения равенства $y(-x) = -y(x)$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: Пусть $x > 0$ и $x \neq 2$.

В этом случае $-x < 0$ и $-x \neq -2$. Для нахождения $y(x)$ используем вторую строку в определении функции, а для нахождения $y(-x)$ — первую.

$y(x) = 2x^2 - x^4 + \frac{17}{x-2}$

Найдём $y(-x)$, подставив $-x$ в первое выражение:

$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \frac{17}{(-x)+2} = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{2-x} = x^4 - 2x^2 - \frac{17}{x-2}$

Теперь найдём выражение для $-y(x)$:

$-y(x) = -(2x^2 - x^4 + \frac{17}{x-2}) = -2x^2 + x^4 - \frac{17}{x-2} = x^4 - 2x^2 - \frac{17}{x-2}$

Сравнивая полученные выражения, видим, что $y(-x) = -y(x)$.

Случай 2: Пусть $x < 0$ и $x \neq -2$.

В этом случае $-x > 0$ и $-x \neq 2$. Для нахождения $y(x)$ используем первую строку в определении функции, а для нахождения $y(-x)$ — вторую.

$y(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+2}$

Найдём $y(-x)$, подставив $-x$ во второе выражение:

$y(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 + \frac{17}{(-x)-2} = 2x^2 - x^4 + \frac{17}{-(x+2)} = 2x^2 - x^4 - \frac{17}{x+2}$

Теперь найдём выражение для $-y(x)$:

$-y(x) = -(x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+2}) = -x^4 + 2x^2 - \frac{17}{x+2} = 2x^2 - x^4 - \frac{17}{x+2}$

Сравнивая полученные выражения, снова видим, что $y(-x) = -y(x)$.

Поскольку оба условия нечётности функции выполняются для всех $x$ из области определения, данная функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.