Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.5. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 3, заданная для всех действительных значений $x$, причём $f(3) = 7, f(4) = 11, f(17) = 13$ и $f(0,1) = 0$. Вычислите:

а) $f(141); f(-134); f(332); f(-8,9);$

б) $f(17,3) - f(20,3); f(32,(3)) - f(332,(3)); f(0,(1)) - f(-2,(8));$

в) $f(10); f(100); f(111111);$

г) $f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(15,1) \cdot f(16,1);$

$f(8888...88) - f(2222...22).$

n цифр n цифр

Поскольку функция $y = f(x)$ является периодической с периодом 3, для любого действительного $x$ и целого $n$ выполняется равенство $f(x + 3n) = f(x)$.

Используя данные из условия, найдем значения функции для некоторых базовых аргументов:

• $f(3) = f(0 + 3 \cdot 1) = f(0) = 7$
• $f(4) = f(1 + 3 \cdot 1) = f(1) = 11$
• $f(17) = f(2 + 3 \cdot 5) = f(2) = 13$
• $f(0,1) = 0$ (В условии запятая используется как десятичный разделитель)

Теперь решим каждую из задач.

Для вычисления значений функции от аргументов будем использовать свойство периодичности, находя эквивалентный аргумент в интервале $[0, 3)$.
$f(141)$: Аргумент $141$. Найдем остаток от деления на 3. Сумма цифр $1+4+1=6$, что делится на 3. Значит, $141 = 3 \cdot 47 + 0$. Следовательно, $f(141) = f(0) = 7$.
$f(-134)$: Аргумент $-134$. Представим его в виде $x + 3n$. $-134 = -135 + 1 = 3 \cdot (-45) + 1$. Следовательно, $f(-134) = f(1) = 11$.
$f(332)$: Аргумент $332$. Сумма цифр $3+3+2=8$. Остаток от деления 8 на 3 равен 2. Значит, $332 = 3 \cdot 110 + 2$. Следовательно, $f(332) = f(2) = 13$.
$f(-8,9)$: Аргумент $-8,9$. Представим его в виде $x + 3n$. $-8,9 = -9 + 0,1 = 3 \cdot (-3) + 0,1$. Следовательно, $f(-8,9) = f(0,1) = 0$.
Ответ: 7; 11; 13; 0.

В этом пункте нужно вычислить значения трех выражений.
1) $f(17,3) - f(20,3)$: Аргументы отличаются на $20,3 - 17,3 = 3$. Поскольку 3 - это период функции, $f(20,3) = f(17,3 + 3) = f(17,3)$. Таким образом, $f(17,3) - f(20,3) = f(17,3) - f(17,3) = 0$.
2) $f(32,(3)) - f(332,(3))$: Аргументы $32,(3) = 32 + 1/3$ и $332,(3) = 332 + 1/3$. Их разность равна $(332 + 1/3) - (32 + 1/3) = 300$. Так как $300 = 3 \cdot 100$ (кратна периоду), то $f(332,(3)) = f(32,(3) + 3 \cdot 100) = f(32,(3))$. Следовательно, разность равна $0$.
3) $f(0,(1)) - f(-2,(8))$: Аргументы $0,(1) = 1/9$ и $-2,(8) = -(2 + 8/9) = -26/9$. Их разность равна $1/9 - (-26/9) = 1/9 + 26/9 = 27/9 = 3$. Так как разность аргументов равна периоду, $f(0,(1)) = f(-2,(8) + 3) = f(-2,(8))$. Следовательно, разность равна $0$.
Ответ: 0; 0; 0.

Используем свойство периодичности и признак делимости на 3 (по сумме цифр).
$f(10)$: $10 = 3 \cdot 3 + 1$. Значит, $f(10) = f(1) = 11$.
$f(100)$: $100 = 3 \cdot 33 + 1$. Значит, $f(100) = f(1) = 11$.
$f(111111)$: Сумма цифр числа $111111$ равна $1+1+1+1+1+1=6$. Так как 6 делится на 3, то и само число $111111$ делится на 3. $111111 = 3 \cdot 37037 + 0$. Значит, $f(111111) = f(0) = 7$.
Ответ: 11; 11; 7.

Нужно вычислить произведение $f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(15,1) \cdot f(16,1)$.
Рассмотрим множитель $f(15,1)$. Аргумент $15,1 = 15 + 0,1 = 3 \cdot 5 + 0,1$.
Из-за периодичности функции, $f(15,1) = f(0,1 + 3 \cdot 5) = f(0,1)$.
Из условия известно, что $f(0,1) = 0$.
Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, всё произведение равно нулю.
$f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot 0 \cdot f(16,1) = 0$.
Ответ: 0.

Обозначим число, состоящее из $n$ цифр 8, как $N_8$, а число из $n$ цифр 2, как $N_2$.
Рассмотрим их разность: $N_8 - N_2 = \underbrace{88...8}_{n\text{ цифр}} - \underbrace{22...2}_{n\text{ цифр}} = \underbrace{66...6}_{n\text{ цифр}}$.
Число $\underbrace{66...6}_{n\text{ цифр}}$ очевидно делится на 3, так как сумма его цифр, $6n$, делится на 3 для любого натурального $n$.
Значит, разность $N_8 - N_2$ можно представить в виде $3k$ для некоторого целого $k$.
Тогда $N_8 = N_2 + 3k$.
Используя свойство периодичности функции, получаем: $f(N_8) = f(N_2 + 3k) = f(N_2)$.
Следовательно, искомая разность равна $f(N_8) - f(N_2) = f(N_2) - f(N_2) = 0$.
Ответ: 0.

9.6. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 4, заданная для всех действительных значений $x$, причём $f(3) = 5; f(4) = 11; f(5) = 9$ и $f(6) = 0$. Сравните:

a) $f(1)$ и $f(31)$;

б) $f(11)$ и $f(110)$;

в) $f(-17)$ и $f(831)$;

г) $f(6 + \sqrt[3]{3})$ и $f(\sqrt[3]{3} - 6)$.

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ и любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x + n \cdot T) = f(x)$, то есть $f(x + 4n) = f(x)$.

Нам даны значения функции: $f(3) = 5$, $f(4) = 11$, $f(5) = 9$ и $f(6) = 0$.

Используя свойство периодичности, мы можем найти значения функции для других аргументов. Например, найдем $f(1)$ и $f(2)$:

• $f(1) = f(1 + 4) = f(5) = 9$
• $f(2) = f(2 + 4) = f(6) = 0$

Теперь перейдем к сравнению значений в каждом пункте.

а) f(1) и f(31)

Мы уже установили, что $f(1) = 9$.

Чтобы найти $f(31)$, представим аргумент 31 в виде $x_0 + 4n$, где $x_0$ — точка, в которой значение функции известно. Разделим 31 на период 4: $31 = 7 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(31) = f(3 + 7 \cdot 4) = f(3)$. По условию $f(3) = 5$, значит, $f(31) = 5$.

Сравниваем полученные значения: $f(1) = 9$ и $f(31) = 5$. Так как $9 > 5$, то $f(1) > f(31)$.
Ответ: $f(1) > f(31)$.

б) f(11) и f(110)

Найдем $f(11)$, представив 11 через период 4: $11 = 2 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(11) = f(3 + 2 \cdot 4) = f(3) = 5$.

Найдем $f(110)$, представив 110 через период 4: $110 = 27 \cdot 4 + 2$. Следовательно, $f(110) = f(2 + 27 \cdot 4) = f(2)$. Ранее мы нашли, что $f(2) = 0$, значит, $f(110) = 0$.

Сравниваем полученные значения: $f(11) = 5$ и $f(110) = 0$. Так как $5 > 0$, то $f(11) > f(110)$.
Ответ: $f(11) > f(110)$.

в) f(-17) и f(831)

Найдем $f(-17)$. Представим -17 через период 4: $-17 = -5 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(-17) = f(3 - 5 \cdot 4) = f(3) = 5$.

Найдем $f(831)$. Представим 831 через период 4: $831 = 207 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(831) = f(3 + 207 \cdot 4) = f(3) = 5$.

Сравниваем полученные значения: $f(-17) = 5$ и $f(831) = 5$. Так как $5 = 5$, то $f(-17) = f(831)$.
Ответ: $f(-17) = f(831)$.

г) $f(6 + \sqrt[3]{3})$ и $f(\sqrt[3]{3} - 6)$

Рассмотрим аргументы функции: $x_1 = \sqrt[3]{3} - 6$ и $x_2 = 6 + \sqrt[3]{3}$. Найдем разность этих аргументов: $x_2 - x_1 = (6 + \sqrt[3]{3}) - (\sqrt[3]{3} - 6) = 6 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} + 6 = 12$.

Разность аргументов равна 12. Это число кратно периоду функции $T=4$, так как $12 = 3 \cdot 4$. Таким образом, $x_2 = x_1 + 3 \cdot 4$. Согласно определению периодической функции, $f(x_1 + 3 \cdot 4) = f(x_1)$. Это означает, что $f(x_2) = f(x_1)$, то есть $f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(\sqrt[3]{3} - 6)$.
Ответ: $f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(\sqrt[3]{3} - 6)$.