Страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.37. Функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 8$. На отрезке $[-1; 7]$ она задана следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ x - 2, & \text{если } 1 < x < 5; \\ 8 - x, & \text{если } 5 \le x \le 7. \end{cases}$

a) Вычислите: $f(40)$, $f(50)$, $f(-65)$.

б) Сколько корней имеет уравнение $f(x) = 0$ на отрезке $[-10; 10]$?

а) Вычислите: f(40), f(50), f(-65).

Функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 8$. Это означает, что $f(x) = f(x + n \cdot T)$ для любого целого числа $n$. Чтобы вычислить значение функции для аргумента, не входящего в основной отрезок $[-1; 7]$, мы можем прибавлять или вычитать периоды, пока не получим аргумент в этом отрезке. Аргумент $x_0$ в основном отрезке, соответствующий $x$, можно найти как $x_0 = x - n \cdot T$.

Вычислим $f(40)$:
Аргумент $x = 40$ находится вне отрезка $[-1; 7]$. Найдем такое целое $n$, чтобы $x_0 = 40 - 8n$ попал в отрезок $[-1; 7]$.
$40 = 5 \cdot 8 + 0$. Выберем $n=5$.
$f(40) = f(40 - 5 \cdot 8) = f(0)$.
Для $x = 0$ используем первую часть определения функции: $-1 \le 0 \le 1$, следовательно $f(x) = -x$.
$f(0) = -0 = 0$.
Таким образом, $f(40) = 0$.

Вычислим $f(50)$:
Аргумент $x = 50$ находится вне отрезка $[-1; 7]$.
$50 = 6 \cdot 8 + 2$. Выберем $n=6$.
$f(50) = f(50 - 6 \cdot 8) = f(2)$.
Для $x = 2$ используем вторую часть определения функции: $1 < 2 < 5$, следовательно $f(x) = x - 2$.
$f(2) = 2 - 2 = 0$.
Таким образом, $f(50) = 0$.

Вычислим $f(-65)$:
Аргумент $x = -65$ находится вне отрезка $[-1; 7]$. Найдем такое целое $n$, чтобы $x_0 = -65 - 8n$ попал в отрезок $[-1; 7]$. Это эквивалентно $x_0 = -65 + k \cdot 8$.
$-65 = -9 \cdot 8 + 7$. Выберем $k=9$.
$f(-65) = f(-65 + 9 \cdot 8) = f(7)$.
Для $x = 7$ используем третью часть определения функции: $5 \le 7 \le 7$, следовательно $f(x) = 8 - x$.
$f(7) = 8 - 7 = 1$.
Таким образом, $f(-65) = 1$.

Ответ: $f(40) = 0, f(50) = 0, f(-65) = 1$.

б) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [-10; 10]?

Сначала найдем корни уравнения $f(x) = 0$ на основном отрезке $[-1; 7]$. Для этого решим уравнение для каждой из трех частей функции.
1. На отрезке $[-1; 1]$: $f(x) = -x$.
Уравнение $-x = 0$ дает корень $x = 0$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
2. На интервале $(1; 5)$: $f(x) = x - 2$.
Уравнение $x - 2 = 0$ дает корень $x = 2$. Этот корень принадлежит интервалу $(1; 5)$.
3. На отрезке $[5; 7]$: $f(x) = 8 - x$.
Уравнение $8 - x = 0$ дает корень $x = 8$. Этот корень не принадлежит отрезку $[5; 7]$.

Таким образом, на отрезке $[-1; 7]$ (длина которого равна периоду $T=8$) уравнение $f(x) = 0$ имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Поскольку функция $f(x)$ периодическая с периодом $T = 8$, все ее корни можно найти по формулам:
$x = x_1 + n \cdot T = 0 + 8n = 8n$
$x = x_2 + n \cdot T = 2 + 8n$
где $n$ – любое целое число.

Теперь найдем, сколько из этих корней попадает в заданный отрезок $[-10; 10]$.

Для первой серии корней ($x = 8n$):
$-10 \le 8n \le 10 \implies -\frac{10}{8} \le n \le \frac{10}{8} \implies -1.25 \le n \le 1.25$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
При $n = -1$, $x = 8(-1) = -8$.
При $n = 0$, $x = 8(0) = 0$.
При $n = 1$, $x = 8(1) = 8$.
Получаем 3 корня: $-8, 0, 8$.

Для второй серии корней ($x = 2 + 8n$):
$-10 \le 2 + 8n \le 10 \implies -12 \le 8n \le 8 \implies -\frac{12}{8} \le n \le \frac{8}{8} \implies -1.5 \le n \le 1$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
При $n = -1$, $x = 2 + 8(-1) = -6$.
При $n = 0$, $x = 2 + 8(0) = 2$.
При $n = 1$, $x = 2 + 8(1) = 10$.
Получаем еще 3 корня: $-6, 2, 10$.

Все найденные корни ($-8, -6, 0, 2, 8, 10$) различны и принадлежат отрезку $[-10; 10]$.
Общее количество корней равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

9.38. а) Функция $y = g(x)$ чётная и определена на всей числовой прямой, а $f(x) = g(g(x) + 3) + g(8 + 2g(x))$. Вычислите $f(2)$, если известно, что $g(2) = -5$.

б) Функция $y = g(x)$ чётная, периодическая с основным периодом $T = 2$ и определена на всей числовой прямой, а $f(x) = g(g(x) + 1) + g(5 + 3g(x))$. Вычислите $f(3)$, если известно, что $g(3) = -4$.

в) Функция $y = g(x)$ чётная и определена на всей числовой прямой, а $f(x) = g(g(x) + 2) + g(14 + 5g(x))$. Вычислите $f(1)$, если известно, что $g(1) = -3$.

г) Функция $y = g(x)$ чётная, определена на всей числовой прямой и периодическая с основным периодом, равным 5, а $f(x) = 2g(13 - 2x) + \frac{1}{g(x^2 - 28)}$. Вычислите $f(10)$, если известно, что $g(7) = -5$.

а)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная, то есть $g(-x) = g(x)$ для любого $x$ из области определения. Нам нужно вычислить $f(2)$.

Подставим $x = 2$ в формулу для $f(x)$:

$f(2) = g(g(2) + 3) + g(8 + 2g(2))$

Известно, что $g(2) = -5$. Подставим это значение в выражение:

$f(2) = g(-5 + 3) + g(8 + 2 \cdot (-5))$

$f(2) = g(-2) + g(8 - 10)$

$f(2) = g(-2) + g(-2)$

Поскольку функция $g(x)$ чётная, $g(-2) = g(2)$. Заменим $g(-2)$ на $g(2)$:

$f(2) = g(2) + g(2) = 2g(2)$

Теперь снова используем известное значение $g(2) = -5$:

$f(2) = 2 \cdot (-5) = -10$

Ответ: $-10$

б)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная ($g(-x) = g(x)$) и периодическая с основным периодом $T = 2$ ($g(x+2n) = g(x)$ для любого целого $n$). Нам нужно вычислить $f(3)$.

Подставим $x = 3$ в формулу для $f(x)$:

$f(3) = g(g(3) + 1) + g(5 + 3g(3))$

Известно, что $g(3) = -4$. Подставим это значение:

$f(3) = g(-4 + 1) + g(5 + 3 \cdot (-4))$

$f(3) = g(-3) + g(5 - 12)$

$f(3) = g(-3) + g(-7)$

Используем свойство чётности функции $g(x)$:

$g(-3) = g(3)$

$g(-7) = g(7)$

Таким образом, $f(3) = g(3) + g(7)$.

Теперь используем свойство периодичности функции $g(x)$ с периодом $T=2$ для нахождения $g(7)$. Аргумент 7 можно представить как $3 + 2 \cdot 2$:

$g(7) = g(3 + 2 \cdot 2) = g(3)$

Подставим $g(7) = g(3)$ в выражение для $f(3)$:

$f(3) = g(3) + g(3) = 2g(3)$

Используя известное значение $g(3) = -4$, получаем:

$f(3) = 2 \cdot (-4) = -8$

Ответ: $-8$

в)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная, что означает $g(-x) = g(x)$. Требуется вычислить $f(1)$.

Подставим $x = 1$ в формулу для $f(x)$:

$f(1) = g(g(1) + 2) + g(14 + 5g(1))$

Известно, что $g(1) = -3$. Подставим это значение:

$f(1) = g(-3 + 2) + g(14 + 5 \cdot (-3))$

$f(1) = g(-1) + g(14 - 15)$

$f(1) = g(-1) + g(-1)$

Так как функция $g(x)$ чётная, то $g(-1) = g(1)$.

Следовательно, $f(1) = g(1) + g(1) = 2g(1)$.

Подставляем известное значение $g(1) = -3$:

$f(1) = 2 \cdot (-3) = -6$

Ответ: $-6$

г)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная ($g(-x) = g(x)$) и периодическая с периодом $T=5$ ($g(x+5n) = g(x)$ для любого целого $n$). Нам нужно вычислить $f(10)$.

Подставим $x = 10$ в формулу для $f(x)$:

$f(10) = 2g(13 - 2 \cdot 10) + \frac{1}{g(10^2 - 28)}$

Упростим аргументы функции $g$:

$f(10) = 2g(13 - 20) + \frac{1}{g(100 - 28)}$

$f(10) = 2g(-7) + \frac{1}{g(72)}$

Используем свойства функции $g(x)$ для вычисления $g(-7)$ и $g(72)$.

Из свойства чётности: $g(-7) = g(7)$. По условию $g(7) = -5$, значит $g(-7) = -5$.

Из свойства периодичности с $T=5$ найдём значение $g(72)$. Представим 72 в виде $x_0 + 5n$, где $x_0$ — это значение, для которого мы знаем значение функции. Мы знаем $g(7)$. Аргумент 72 можно связать с 7 следующим образом:

$72 = 7 + 65 = 7 + 13 \cdot 5$.

Таким образом, $g(72) = g(7 + 13 \cdot 5) = g(7)$.

Так как $g(7) = -5$, то $g(72) = -5$.

Теперь подставим найденные значения $g(-7) = -5$ и $g(72) = -5$ в выражение для $f(10)$:

$f(10) = 2 \cdot (-5) + \frac{1}{-5}$

$f(10) = -10 - \frac{1}{5} = -10 - 0.2 = -10.2$

Ответ: $-10.2$

10.1. Дано равенство $y = \frac{x^2}{x^2+1}$. Выразите из этого равенства $x$ через $y$, если:

а) $x \ge 0$;

б) $x \le 0$;

в) $x \ge 2$;

г) $x \le -0,21$.

Чтобы выразить x через y из данного равенства $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, необходимо решить это уравнение относительно x.

Сначала умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 + 1)$, предполагая, что $x^2 + 1 \neq 0$, что всегда верно для любых действительных x: $y \cdot (x^2 + 1) = x^2$

Раскроем скобки в левой части: $y x^2 + y = x^2$

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие $x^2$, с одной стороны, а остальные — с другой: $y = x^2 - y x^2$

Вынесем $x^2$ за скобки как общий множитель: $y = x^2 (1 - y)$

Отсюда выразим $x^2$. Для этого разделим обе части на $(1 - y)$, при условии что $1 - y \neq 0$, то есть $y \neq 1$. Заметим, что из исходного уравнения $y = \frac{x^2}{x^2+1}$ следует, что $y < 1$, так как числитель всегда меньше знаменателя (при $x \neq 0$) или равен ему (при $x=0$, $y=0$), поэтому это условие выполняется. $x^2 = \frac{y}{1 - y}$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти x. При извлечении корня появляются два возможных знака: «+» и «–». $x = \pm\sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

Выбор знака зависит от дополнительного условия, наложенного на x в каждом подпункте.

а) $x \ge 0$
Поскольку по условию x должно быть неотрицательным, мы выбираем положительный корень.
Ответ: $x = \sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

б) $x \le 0$
Поскольку по условию x должно быть неположительным, мы выбираем отрицательный корень.
Ответ: $x = -\sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

в) $x \ge 2$
Это условие является частным случаем условия $x \ge 0$. Следовательно, мы также должны выбрать положительный корень.
Ответ: $x = \sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

г) $x \le -0,21$
Это условие является частным случаем условия $x \le 0$. Следовательно, мы должны выбрать отрицательный корень.
Ответ: $x = -\sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

10.2. Дано равенство $\rho = \frac{st^3}{2-s}$, связывающее три величины:

$\rho, s, t.$

a) Выразите из этого равенства $s$ через $\rho$ и $t$;

б) Выразите из этого равенства $t$ через $s$ и $\rho$.

а) Выразите из этого равенства s через ? и t;

Дано равенство: $\rho = \frac{st^3}{2-s}$.
Наша цель — выразить переменную $s$. Для этого нужно выполнить ряд алгебраических преобразований, чтобы изолировать $s$ в одной части уравнения.
1. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2-s)$, чтобы избавиться от дроби. Это допустимо при условии $2-s \neq 0$, то есть $s \neq 2$.
$\rho \cdot (2-s) = st^3$
2. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2\rho - s\rho = st^3$
3. Теперь сгруппируем все члены, содержащие $s$, в одной части уравнения. Перенесем $-s\rho$ из левой части в правую:
$2\rho = st^3 + s\rho$
4. Вынесем общий множитель $s$ за скобки в правой части уравнения:
$2\rho = s(t^3 + \rho)$
5. Чтобы найти $s$, разделим обе части уравнения на выражение в скобках $(t^3 + \rho)$. Это допустимо при условии $t^3 + \rho \neq 0$.
$s = \frac{2\rho}{t^3 + \rho}$
Ответ: $s = \frac{2\rho}{t^3 + \rho}$

б) выразите из этого равенства t через s и ?.

Используем то же самое исходное равенство: $\rho = \frac{st^3}{2-s}$.
Теперь наша цель — выразить переменную $t$.
1. Как и в предыдущем пункте, умножим обе части уравнения на $(2-s)$:
$\rho(2-s) = st^3$
2. Наша цель — $t$, поэтому сначала изолируем член $t^3$. Для этого разделим обе части уравнения на $s$. Это допустимо при условии $s \neq 0$.
$\frac{\rho(2-s)}{s} = t^3$
3. Чтобы найти $t$, а не $t^3$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:
$t = \sqrt[3]{\frac{\rho(2-s)}{s}}$
Ответ: $t = \sqrt[3]{\frac{\rho(2-s)}{s}}$

10.3. Для функции, заданной графически, укажите область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте эскиз графика обратной функции:

а) рис. 34;

б) рис. 35;

в) рис. 36;

г) рис. 37.

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

а) рис. 34

1. Область определения. Проекция графика на ось абсцисс ($Ox$) является отрезком $[-4; 3]$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-4; 3]$.
2. Существование обратной функции. Функция является строго убывающей на всей своей области определения, так как для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Любая горизонтальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Следовательно, для данной функции существует обратная функция.
3. Эскиз графика обратной функции. График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$. Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, $D(y^{-1}) = E(y) = [-3; 3]$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, $E(y^{-1}) = D(y) = [-4; 3]$.
Для построения эскиза выберем ключевые точки на графике исходной функции: $(-4; 3)$, $(-2; 1)$, $(0; 0)$, $(2; -1)$, $(3; -3)$. Точками на графике обратной функции будут точки с инвертированными координатами: $(3; -4)$, $(1; -2)$, $(0; 0)$, $(-1; 2)$, $(-3; 3)$. Соединим эти точки плавной кривой.

На эскизе синим цветом показан график исходной функции, красным — график обратной функции, зелёным пунктиром — прямая $y=x$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-4; 3]$. Обратная функция существует. Эскиз графика представлен выше.

б) рис. 35

1. Область определения. Проекция графика на ось $Ox$ — это отрезок $[-3; 4]$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-3; 4]$.
2. Существование обратной функции. Функция не является монотонной на своей области определения. Например, на отрезке $[-3; -1]$ функция возрастает, а на отрезке $[-1; 2.5]$ — убывает. Применение теста горизонтальной прямой показывает, что существуют горизонтальные прямые (например, $y=1$), которые пересекают график функции более чем в одной точке. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, что нарушает условие обратимости. Следовательно, обратная функция на всей области определения не существует.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 4]$. Обратная функция не существует.

в) рис. 36

1. Область определения. Проекция графика на ось $Ox$ — это отрезок $[-3; 2]$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-3; 2]$.
2. Существование обратной функции. Функция не является монотонной на всей области определения. На отрезке $[-3; -1]$ она возрастает, на отрезке $[-1; 1]$ — убывает, а на отрезке $[1; 2]$ — снова возрастает. Горизонтальная прямая (например, $y=0$) пересекает график в трёх точках. Следовательно, обратная функция на всей области определения не существует.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 2]$. Обратная функция не существует.

г) рис. 37

1. Область определения. Проекция графика на ось $Ox$ является отрезком $[-2; 4]$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-2; 4]$.
2. Существование обратной функции. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения, так как для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Любая горизонтальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Следовательно, для данной функции существует обратная функция.
3. Эскиз графика обратной функции. График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$. Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, $D(y^{-1}) = E(y) = [-3; 3]$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, $E(y^{-1}) = D(y) = [-2; 4]$.
Для построения эскиза выберем ключевые точки на графике исходной функции: $(-2; -3)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(4; 3)$. Точками на графике обратной функции будут точки с инвертированными координатами: $(-3; -2)$, $(0; -1)$, $(1; 0)$, $(3; 4)$. Соединим эти точки плавной кривой.

На эскизе синим цветом показан график исходной функции, красным — график обратной функции, зелёным пунктиром — прямая $y=x$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 4]$. Обратная функция существует. Эскиз графика представлен выше.