Страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции $y = f(g(x))$, если:

10.28. а) $f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$;

б) $f(x) = -x^2$, $g(x) = \sqrt{-x}$;

в) $f(x) = x^2$, $g(x) = -\sqrt{x}$;

г) $f(x) = -x^2$, $g(x) = -\sqrt{-x}$.

а)

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$.

Для того чтобы построить график функции $y = f(g(x))$, сначала найдём аналитическое выражение для этой сложной функции. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$.

Далее определим область определения полученной функции. Область определения сложной функции $y = f(g(x))$ совпадает с областью определения внутренней функции $g(x)$.

Область определения функции $g(x) = \sqrt{x}$ задается условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Таким образом, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат (точки $(0,0)$) и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \ge 0$. Он начинается в начале координат и расположен в первой координатной четверти.

б)

Даны функции $f(x) = -x^2$ и $g(x) = \sqrt{-x}$.

Найдём аналитическое выражение для сложной функции $y = f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{-x}) = -(\sqrt{-x})^2 = -(-x) = x$.

Определим область определения. Она совпадает с областью определения функции $g(x) = \sqrt{-x}$. Условие существования корня: $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.

Следовательно, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \le 0$. Это луч, выходящий из начала координат (точки $(0,0)$) и являющийся биссектрисой третьего координатного угла.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \le 0$. Он начинается в начале координат и расположен в третьей координатной четверти.

в)

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = -\sqrt{x}$.

Найдём аналитическое выражение для сложной функции $y = f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(-\sqrt{x}) = (-\sqrt{x})^2 = x$.

Определим область определения. Она совпадает с областью определения функции $g(x) = -\sqrt{x}$. Условие существования корня: $x \ge 0$.

Таким образом, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Этот случай идентичен пункту а). Графиком является луч, выходящий из начала координат и расположенный в первой координатной четверти.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \ge 0$. Он начинается в начале координат и расположен в первой координатной четверти.

г)

Даны функции $f(x) = -x^2$ и $g(x) = -\sqrt{-x}$.

Найдём аналитическое выражение для сложной функции $y = f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(-\sqrt{-x}) = -(-\sqrt{-x})^2 = -(-x) = x$.

Определим область определения. Она совпадает с областью определения функции $g(x) = -\sqrt{-x}$. Условие существования корня: $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.

Следовательно, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \le 0$. Этот случай идентичен пункту б). Графиком является луч, выходящий из начала координат и расположенный в третьей координатной четверти.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \le 0$. Он начинается в начале координат и расположен в третьей координатной четверти.

10.29. a) $f(x) = x^2 + 1$, $g(x) = \sqrt{x - 1}$;

б) $f(x) = 3 - 0.5x^2$, $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$;

в) $f(x) = x^2 - 2$, $g(x) = \sqrt{x + 2}$;

г) $f(x) = 8 - 2x^2$, $g(x) = -\sqrt{4 - 0.5x}$.

а) Даны функции $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \sqrt{x - 1}$.

Чтобы определить, являются ли эти функции взаимно обратными, необходимо проверить, выполняются ли тождества $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ на соответствующих областях определения. Также важно согласовать области определения и множества значений функций.

Сначала найдем область определения и множество значений для каждой функции. Для функции $g(x) = \sqrt{x - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Таким образом, область определения $D(g) = [1, +\infty)$. Множество значений $E(g) = [0, +\infty)$, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

Для функции $f(x) = x^2 + 1$ область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(f) = [1, +\infty)$, поскольку $x^2 \ge 0$.

Функция $f(x) = x^2 + 1$ не является монотонной на всей своей области определения, а значит, не является обратимой. Чтобы найти для неё обратную, необходимо сузить её область определения так, чтобы она стала монотонной. Для согласования с $g(x)$ (требуется $D(f) = E(g)$), мы должны рассмотреть $f(x)$ на промежутке $[0, +\infty)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно возрастает. При этом суженная область определения $D_{огр}(f) = [0, +\infty)$ совпадает с $E(g)$, а множество значений $E(f) = [1, +\infty)$ совпадает с $D(g)$.

Проверим композиции функций на этих согласованных областях.

1. Найдем $f(g(x))$ для $x \in D(g) = [1, +\infty)$:
$f(g(x)) = f(\sqrt{x - 1}) = (\sqrt{x - 1})^2 + 1 = (x - 1) + 1 = x$.

2. Найдем $g(f(x))$ для $x \in D_{огр}(f) = [0, +\infty)$:
$g(f(x)) = g(x^2 + 1) = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, то $|x| = x$. Таким образом, $g(f(x)) = x$.

Оба тождества выполняются, следовательно, функции являются взаимно обратными при указанном ограничении.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $[0, +\infty)$.

б) Даны функции $f(x) = 3 - 0,5x^2$ и $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$.

Проверим, являются ли функции взаимно обратными. Для $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$ область определения: $6 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 6 \implies x \le 3$. $D(g) = (-\infty, 3]$. Множество значений $E(g) = [0, +\infty)$.

Для $f(x) = 3 - 0,5x^2$ область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Так как $-0,5x^2 \le 0$, множество значений $E(f) = (-\infty, 3]$.

Сузим область определения $f(x)$ до $D_{огр}(f) = [0, +\infty)$, чтобы она соответствовала множеству значений $E(g)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно убывает. При этом $D_{огр}(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$.

Проверим композиции:

1. $f(g(x)) = f(\sqrt{6 - 2x}) = 3 - 0,5(\sqrt{6 - 2x})^2 = 3 - 0,5(6 - 2x) = 3 - 3 + x = x$. Это верно для $x \in (-\infty, 3]$.

2. $g(f(x)) = g(3 - 0,5x^2) = \sqrt{6 - 2(3 - 0,5x^2)} = \sqrt{6 - 6 + x^2} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Так как мы рассматриваем $x \in [0, +\infty)$, то $|x| = x$. Таким образом, $g(f(x)) = x$.

Оба тождества выполняются.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $[0, +\infty)$.

в) Даны функции $f(x) = x^2 - 2$ и $g(x) = \sqrt{x + 2}$.

Проверим, являются ли функции взаимно обратными. Для $g(x) = \sqrt{x + 2}$ область определения: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. $D(g) = [-2, +\infty)$. Множество значений $E(g) = [0, +\infty)$.

Для $f(x) = x^2 - 2$ область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(f) = [-2, +\infty)$.

Сузим область определения $f(x)$ до $D_{огр}(f) = [0, +\infty)$, чтобы она соответствовала множеству значений $E(g)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно возрастает. При этом $D_{огр}(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$.

Проверим композиции:

1. $f(g(x)) = f(\sqrt{x + 2}) = (\sqrt{x + 2})^2 - 2 = (x + 2) - 2 = x$. Это верно для $x \in [-2, +\infty)$.

2. $g(f(x)) = g(x^2 - 2) = \sqrt{(x^2 - 2) + 2} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Так как мы рассматриваем $x \in [0, +\infty)$, то $|x| = x$. Таким образом, $g(f(x)) = x$.

Оба тождества выполняются.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $[0, +\infty)$.

г) Даны функции $f(x) = 8 - 2x^2$ и $g(x) = -\sqrt{4 - 0,5x}$.

Проверим, являются ли функции взаимно обратными. Для $g(x) = -\sqrt{4 - 0,5x}$ область определения: $4 - 0,5x \ge 0 \implies 4 \ge 0,5x \implies 8 \ge x$. $D(g) = (-\infty, 8]$. Множество значений $E(g) = (-\infty, 0]$, так как перед корнем стоит знак минус.

Для $f(x) = 8 - 2x^2$ область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(f) = (-\infty, 8]$.

Сузим область определения $f(x)$ до $D_{огр}(f) = (-\infty, 0]$, чтобы она соответствовала множеству значений $E(g)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно возрастает. При этом $D_{огр}(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$.

Проверим композиции:

1. $f(g(x)) = f(-\sqrt{4 - 0,5x}) = 8 - 2(-\sqrt{4 - 0,5x})^2 = 8 - 2(4 - 0,5x) = 8 - 8 + x = x$. Это верно для $x \in (-\infty, 8]$.

2. $g(f(x)) = g(8 - 2x^2) = -\sqrt{4 - 0,5(8 - 2x^2)} = -\sqrt{4 - 4 + x^2} = -\sqrt{x^2} = -|x|$.
Так как мы рассматриваем $x \in (-\infty, 0]$, то $x \le 0$ и $|x| = -x$. Таким образом, $g(f(x)) = -(-x) = x$.

Оба тождества выполняются.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $(-\infty, 0]$.

10.30. Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — взаимно обратные функции.

Постройте на двух различных чертежах графики функций $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$, если:

a) $D(f) = E(f) = R;$

б) $D(f) = E(f) = (0; 3];$

в) $D(f) = [1; 3]; E(f) = R;$

г) $D(f) = [-2; 3]; E(f) = [-3; 2].$

Основное свойство взаимно обратных функций $f(x)$ и $g(x)$ заключается в том, что их композиция является тождественной функцией. То есть, $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$, и $f(g(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $g$. Также, область определения одной функции является областью значений для другой, и наоборот: $D(g) = E(f)$ и $E(g) = D(f)$.

а) Дано: $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), $E(f) = \mathbb{R}$.

Исходя из свойств обратных функций, для функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = \mathbb{R}$ и $E(g) = D(f) = \mathbb{R}$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Композиция $g(f(x)) = x$. Область определения этой функции совпадает с областью определения $f(x)$, то есть $D(g \circ f) = D(f) = \mathbb{R}$. Таким образом, мы строим график функции $y = x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Композиция $f(g(x)) = x$. Область определения этой функции совпадает с областью определения $g(x)$, то есть $D(f \circ g) = D(g) = \mathbb{R}$. Таким образом, мы строим график функции $y = x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Графики обеих функций совпадают. Это прямая $y=x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

б) Дано: $D(f) = (0; 3]$, $E(f) = (0; 3]$.

Для обратной функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = (0; 3]$ и $E(g) = D(f) = (0; 3]$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(f)$, то есть для $x \in (0; 3]$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(g)$, то есть для $x \in (0; 3]$.

Ответ: Графики обеих функций совпадают. Это отрезок прямой $y=x$, у которого начало в точке $(0, 0)$ является выколотым (не включено в график), а конец в точке $(3, 3)$ включен.

в) Дано: $D(f) = [1; 3]$, $E(f) = \mathbb{R}$.

Для обратной функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = \mathbb{R}$ и $E(g) = D(f) = [1; 3]$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(f)$, то есть для $x \in [1; 3]$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(g)$, то есть для $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Графики функций различны.
Для $y = g(f(x))$ графиком является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(1, 1)$ и $(3, 3)$, обе точки включены.
Для $y = f(g(x))$ графиком является вся прямая $y=x$.

г) Дано: $D(f) = [-2; 3]$, $E(f) = [-3; 2]$.

Для обратной функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = [-3; 2]$ и $E(g) = D(f) = [-2; 3]$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(f)$, то есть для $x \in [-2; 3]$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(g)$, то есть для $x \in [-3; 2]$.

Ответ: Графики функций различны.
Для $y = g(f(x))$ графиком является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-2, -2)$ и $(3, 3)$, обе точки включены.
Для $y = f(g(x))$ графиком является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-3, -3)$ и $(2, 2)$, обе точки включены.

10.31. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, чтобы уравнение $f(x) = x$:

а) имело один корень;

б) имело три корня;

в) имело бесконечно много корней;

г) не имело корней.

Для решения задачи нам нужно найти функцию $y=f(x)$, которая является строго монотонной (чтобы у нее существовала обратная функция $y=g(x)$), и график которой пересекает прямую $y=x$ требуемое количество раз. График обратной функции $y=g(x)$ будет симметричен графику $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$. Точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=x$ являются неподвижными при симметрии относительно этой прямой, поэтому они также принадлежат графику обратной функции $y=g(x)$.

а) имело один корень

Уравнение $f(x)=x$ должно иметь один корень. Это означает, что график функции $y=f(x)$ должен пересекать прямую $y=x$ ровно в одной точке. Рассмотрим простейший случай — линейную функцию $f(x)=kx+b$. Чтобы она была обратимой, нужно $k \neq 0$. Уравнение $f(x)=x$ принимает вид $kx+b=x$, или $(k-1)x=-b$. Если $k \neq 1$, это уравнение всегда имеет ровно один корень $x = -b/(k-1)$. Возьмем, к примеру, функцию $f(x)=2x$. Она является строго возрастающей, так как ее производная $f'(x)=2>0$. Уравнение $f(x)=x$ превращается в $2x=x$, откуда $x=0$. Это единственный корень. Обратная функция $g(x)$ находится из уравнения $y=2x \implies x=y/2$. Таким образом, $g(x)=x/2$. На одном чертеже строим три графика: прямую $y=x$, прямую $y=f(x)=2x$ и прямую $y=g(x)=x/2$. Все три прямые пересекаются в одной точке — начале координат $(0,0)$.
Ответ: $f(x) = 2x$ и $g(x) = \frac{1}{2}x$.

б) имело три корня

Нам нужна строго монотонная функция, график которой пересекает прямую $y=x$ в трех точках. Если функция $f(x)$ строго убывающая, то функция $h(x)=f(x)-x$ также строго убывающая и может иметь не более одного корня. Следовательно, $f(x)$ должна быть строго возрастающей. Подберем функцию в виде многочлена. Пусть корни уравнения $f(x)=x$ будут $x=-1, 0, 1$. Тогда разность $f(x)-x$ должна иметь вид $k \cdot x(x-1)(x+1) = k(x^3-x)$. Отсюда $f(x) = kx^3 + (1-k)x$. Чтобы функция $f(x)$ была строго возрастающей, ее производная $f'(x) = 3kx^2 + 1-k$ должна быть неотрицательной при всех $x$. Если выбрать $k>0$, то наименьшее значение производной достигается при $x=0$ и равно $1-k$. Условие $1-k \ge 0$ дает $k \le 1$. Выберем $k=1/2$. Тогда $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + (1-\frac{1}{2})x = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x$. Эта функция является строго возрастающей, так как ее производная $f'(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2} > 0$ для всех $x$. Уравнение $f(x)=x$ имеет вид $\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x = x$, что равносильно $\frac{1}{2}x(x^2-1)=0$, и имеет три корня: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$. График функции $y=f(x)$ — это возрастающая кубическая кривая, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$, которые лежат на прямой $y=x$. График обратной функции $y=g(x)$ симметричен ему относительно прямой $y=x$ и также проходит через эти три точки.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x$ и обратная к ней функция $g(x)$.

в) имело бесконечно много корней

Чтобы уравнение $f(x)=x$ имело бесконечно много корней, график функции $y=f(x)$ должен совпадать с прямой $y=x$ на некотором отрезке. При этом функция $f(x)$ должна быть строго монотонной на всей области определения. Рассмотрим кусочно-заданную функцию. Пусть $f(x)=x$ на отрезке $[-1, 1]$. Вне этого отрезка определим функцию так, чтобы она оставалась строго возрастающей. Например, пусть $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < -1 \\ x, & -1 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ Эта функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой оси, а значит, обратима. На отрезке $[-1, 1]$ уравнение $f(x)=x$ выполняется для всех точек, то есть имеет бесконечное множество решений. Найдем обратную функцию $g(x)$. При $y > 1$, $y = 2x - 1 \implies x = (y+1)/2$. При $-1 \le y \le 1$, $y=x \implies x=y$. При $y < -1$, $y = 2x + 1 \implies x = (y-1)/2$. Следовательно, обратная функция имеет вид: $g(x) = \begin{cases} (x-1)/2, & x < -1 \\ x, & -1 \le x \le 1 \\ (x+1)/2, & x > 1 \end{cases}$ Графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ совпадают с прямой $y=x$ на отрезке от точки $(-1, -1)$ до $(1, 1)$. Вне этого отрезка они расходятся, оставаясь симметричными друг другу относительно прямой $y=x$.
Ответ: $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < -1 \\ x, & -1 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ и обратная к ней функция $g(x)$.

г) не имело корней

Для этого случая необходимо, чтобы график функции $y=f(x)$ не имел общих точек с прямой $y=x$. Это означает, что для всех $x$ должно выполняться либо $f(x) > x$, либо $f(x) < x$. Функция $f(x)$ при этом должна быть строго монотонной. Рассмотрим функцию $f(x) = x+1$. Эта функция строго возрастающая, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=1$. Уравнение $f(x)=x$ принимает вид $x+1=x$, что приводит к неверному равенству $1=0$. Следовательно, уравнение не имеет корней. График функции $y=x+1$ — это прямая, параллельная прямой $y=x$ и расположенная на 1 единицу выше нее. Найдем обратную функцию. Из $y=x+1$ следует $x=y-1$. Значит, $g(x) = x-1$. График обратной функции $y=x-1$ — это прямая, параллельная $y=x$ и расположенная на 1 единицу ниже нее. Оба графика $y=f(x)$ и $y=g(x)$ не пересекают прямую $y=x$.
Ответ: $f(x) = x+1$ и $g(x) = x-1$.

10.32. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, чтобы уравнение $f(x) = g(x)$:

а) имело один корень;

б) имело три корня;

в) имело бесконечно много корней;

г) не имело корней.

Пусть $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — взаимно обратные функции. По определению, график функции $y=g(x)$ симметричен графику функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$. Корни уравнения $f(x)=g(x)$ являются абсциссами точек пересечения их графиков.

Точки пересечения графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$ могут:

• Лежать на прямой $y=x$. В этом случае их координаты $(x_0, x_0)$ удовлетворяют уравнению $f(x_0)=x_0$. Если функция $f(x)$ строго возрастает, то все точки пересечения с её обратной функцией лежат на прямой $y=x$.
• Образовывать пары точек $(a, b)$ и $(b, a)$, симметричных относительно прямой $y=x$. Это возможно, если на некотором участке функция $f(x)$ является убывающей.

а) имело один корень;

Чтобы уравнение $f(x)=g(x)$ имело один корень, графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ должны пересекаться в одной точке. Самый простой случай — когда эта точка лежит на прямой $y=x$ и является точкой касания.

Рассмотрим строго возрастающую функцию $f(x)=e^{x-1}$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Для этого выразим $x$ из уравнения $y=e^{x-1}$:

$\ln(y) = x-1$

$x = \ln(y)+1$

Следовательно, обратная функция $g(x) = \ln(x)+1$.

Поскольку функция $f(x)=e^{x-1}$ является строго возрастающей, все точки ее пересечения с обратной функцией лежат на прямой $y=x$. Таким образом, уравнение $f(x)=g(x)$ эквивалентно уравнению $f(x)=x$.

Решим уравнение $e^{x-1}=x$.

Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = e^{x-1}-x$. Найдем ее производную: $h'(x)=e^{x-1}-1$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $e^{x-1}-1=0 \implies e^{x-1}=1 \implies x-1=0 \implies x=1$.

В точке $x=1$ функция $h(x)$ имеет минимум, так как $h'(x)<0$ при $x<1$ и $h'(x)>0$ при $x>1$.

Значение функции в точке минимума: $h(1)=e^{1-1}-1=e^0-1=0$.

Так как минимальное значение функции $h(x)$ равно нулю, уравнение $h(x)=0$ имеет единственный корень $x=1$.

Таким образом, графики функций $y=e^{x-1}$ и $y=\ln(x)+1$ пересекаются в единственной точке $(1,1)$, которая является их точкой касания с прямой $y=x$.

Ответ: Функции $f(x)=e^{x-1}$ и $g(x)=\ln(x)+1$. Уравнение $f(x)=g(x)$ имеет один корень $x=1$.

б) имело три корня;

Чтобы уравнение имело три корня, можно использовать убывающую функцию. В этом случае точки пересечения могут лежать не только на прямой $y=x$.

Рассмотрим убывающую функцию $f(x)=-x^3$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Выразим $x$ из $y=-x^3$:

$x^3 = -y$

$x = \sqrt[3]{-y} = -\sqrt[3]{y}$

Следовательно, обратная функция $g(x)=-\sqrt[3]{x}$.

Решим уравнение $f(x)=g(x)$:

$-x^3 = -\sqrt[3]{x}$

$x^3 = \sqrt[3]{x}$

Возведем обе части в куб:

$(x^3)^3 = (\sqrt[3]{x})^3$

$x^9 = x$

$x^9 - x = 0$

$x(x^8 - 1) = 0$

$x(x^4-1)(x^4+1) = 0$

$x(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = 0$

$x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = 0$

Действительные корни уравнения: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Проверка показывает, что все три корня подходят для исходного уравнения $x^3 = \sqrt[3]{x}$. Точки пересечения графиков: $(0,0)$, $(1,-1)$ и $(-1,1)$. Точка $(0,0)$ лежит на прямой $y=x$, а точки $(1,-1)$ и $(-1,1)$ симметричны относительно этой прямой.

Ответ: Функции $f(x)=-x^3$ и $g(x)=-\sqrt[3]{x}$. Уравнение $f(x)=g(x)$ имеет три корня: $0, 1, -1$.

в) имело бесконечно много корней;

Уравнение $f(x)=g(x)$ будет иметь бесконечно много корней, если графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ совпадают на некотором промежутке. Это происходит, когда график функции $f(x)$ симметричен сам себе относительно прямой $y=x$. Такие функции являются обратными самим себе.

Рассмотрим функцию $f(x)=-x+c$ для любой константы $c$. Например, возьмем $f(x)=-x+2$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Выразим $x$ из $y=-x+2$:

$x = -y+2$

Следовательно, обратная функция $g(x)=-x+2$.

Таким образом, $f(x)=g(x)$. Уравнение $f(x)=g(x)$ принимает вид $-x+2=-x+2$, что является тождеством, верным для любого действительного числа $x$.

Графики функций $y=-x+2$ и ее обратной совпадают (это одна и та же прямая), поэтому они имеют бесконечно много точек пересечения.

Ответ: Функции $f(x)=-x+2$ и $g(x)=-x+2$. Уравнение $f(x)=g(x)$ имеет бесконечно много корней (любое $x \in \mathbb{R}$).

г) не имело корней.

Чтобы уравнение $f(x)=g(x)$ не имело корней, графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ не должны пересекаться. Для строго возрастающей функции это означает, что ее график не должен пересекать прямую $y=x$.

Рассмотрим строго возрастающую функцию $f(x)=x+1$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Выразим $x$ из $y=x+1$:

$x = y-1$

Следовательно, обратная функция $g(x)=x-1$.

Решим уравнение $f(x)=g(x)$:

$x+1 = x-1$

$1 = -1$

Полученное равенство неверно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Графики функций $y=x+1$ и $y=x-1$ — это две параллельные прямые, которые не пересекаются. График $y=x+1$ лежит полностью выше прямой $y=x$, а график $y=x-1$ — полностью ниже.

Ответ: Функции $f(x)=x+1$ и $g(x)=x-1$. Уравнение $f(x)=g(x)$ не имеет корней.

10.33. Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — некоторые взаимно обратные функции. Являются ли равносильными следующие уравнения:

а) $f(x) = x$ и $g(x) = x$;

б) $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$?

Постройте график функции и определите, существует ли для неё обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте её аналитически:

а) f(x) = x и g(x) = x;

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — взаимно обратные функции. Это означает, что $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$ (обозначим ее $D_f$) и $f(g(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $g$ (обозначим ее $D_g$). Также известно, что область определения одной функции является областью значений другой: $D_f = E_g$ и $E_f = D_g$.

Рассмотрим уравнение $f(x) = x$. Пусть $x_0$ — корень этого уравнения. Тогда выполняется равенство $f(x_0) = x_0$. По определению, корень $x_0$ должен принадлежать области определения функции $f$, то есть $x_0 \in D_f$. Применим к обеим частям равенства $f(x_0) = x_0$ обратную функцию $g(x)$: $g(f(x_0)) = g(x_0)$. По определению обратной функции, $g(f(x_0)) = x_0$, так как $x_0 \in D_f$. Следовательно, мы получаем $x_0 = g(x_0)$. Это означает, что $x_0$ также является корнем уравнения $g(x) = x$. Таким образом, любой корень уравнения $f(x) = x$ является и корнем уравнения $g(x) = x$.

Теперь рассмотрим уравнение $g(x) = x$. Пусть $x_1$ — корень этого уравнения: $g(x_1) = x_1$. Корень $x_1$ должен принадлежать области определения $g$, то есть $x_1 \in D_g$. Применим к обеим частям равенства $g(x_1) = x_1$ функцию $f(x)$: $f(g(x_1)) = f(x_1)$. По определению обратной функции, $f(g(x_1)) = x_1$, так как $x_1 \in D_g$. Следовательно, мы получаем $x_1 = f(x_1)$. Это означает, что $x_1$ также является корнем уравнения $f(x) = x$. Таким образом, любой корень уравнения $g(x) = x$ является и корнем уравнения $f(x) = x$.

Поскольку множества корней этих уравнений полностью совпадают, уравнения являются равносильными.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

б) f(g(x)) = x и g(f(x)) = x?

Рассмотрим уравнения $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$. Эти равенства являются тождествами, которые определяют взаимно обратные функции $f$ и $g$.

Уравнение $f(g(x)) = x$ верно для всех $x$ из области определения функции $g$, то есть для $x \in D_g$. Таким образом, множество решений этого уравнения есть $D_g$.

Уравнение $g(f(x)) = x$ верно для всех $x$ из области определения функции $f$, то есть для $x \in D_f$. Таким образом, множество решений этого уравнения есть $D_f$.

Уравнения являются равносильными, если множества их решений совпадают, то есть если $D_f = D_g$. Однако в общем случае область определения функции $f$ не обязана совпадать с областью определения ее обратной функции $g$.

Приведем контрпример. Пусть дана функция $f(x) = e^x$. Ее область определения $D_f = (-\infty; +\infty)$. Обратная к ней функция — $g(x) = \ln(x)$. Ее область определения $D_g = (0; +\infty)$. В этом случае $D_f \neq D_g$.

Множество решений уравнения $f(g(x)) = e^{\ln(x)} = x$ совпадает с $D_g$, то есть $x \in (0; +\infty)$. Множество решений уравнения $g(f(x)) = \ln(e^x) = x$ совпадает с $D_f$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку множества решений $(0; +\infty)$ и $(-\infty; +\infty)$ не совпадают, данные уравнения не являются равносильными.
Ответ: Нет, в общем случае уравнения не являются равносильными.

10.34. a) $y = 3x + |x|;$

б) $y = x + 2|x|;$

В) $y = 2|x| - 5x;$

Г) $y = 2x - 5|x|.$

а) $y = 3x + |x|$

Для решения данного уравнения необходимо раскрыть модуль $|x|$. По определению модуля:
$|x| = x$, при $x \ge 0$
$|x| = -x$, при $x < 0$
Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = 3x + x = 4x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = 3x + (-x) = 2x$

Таким образом, функция является кусочно-линейной и задается системой:
Ответ: $y = \begin{cases} 4x, & \text{при } x \ge 0 \\ 2x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = x + 2|x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = x + 2(x) = 3x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = x + 2(-x) = x - 2x = -x$

Функция задается системой:
Ответ: $y = \begin{cases} 3x, & \text{при } x \ge 0 \\ -x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

в) $y = 2|x| - 5x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = 2(x) - 5x = -3x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = 2(-x) - 5x = -2x - 5x = -7x$

Функция задается системой:
Ответ: $y = \begin{cases} -3x, & \text{при } x \ge 0 \\ -7x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

г) $y = 2x - 5|x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = 2x - 5(x) = -3x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = 2x - 5(-x) = 2x + 5x = 7x$

Функция задается системой:
Ответ: $y = \begin{cases} -3x, & \text{при } x \ge 0 \\ 7x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

10.35. a) $y = x|x|$;

б) $y = x^2 + 2|x|$;

В) $y = 2 - x|x|$;

Г) $y = x|x - 2|$.

а) $y = x|x|$

Для решения раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. В этом случае функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. В этом случае функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$.

Таким образом, мы получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции будет состоять из двух частей:
- При $x \ge 0$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2$ (это ее правая ветвь, расположенная в первой координатной четверти).
- При $x < 0$ график совпадает с графиком параболы $y = -x^2$ (это ее левая ветвь, расположенная в третьей координатной четверти).
Функция является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = x|x|$ представляет собой объединение ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.

б) $y = x^2 + 2|x|$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, данную функцию можно представить в виде $y = |x|^2 + 2|x|$. Так как переменная $x$ входит в уравнение только под знаком модуля или в четной степени, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

Рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 + 2x$

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
Для построения искомого графика мы берем часть параболы $y = x^2 + 2x$ только для $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке $(0, 0)$ и уходит вверх.
Для получения всего графика отражаем построенную часть симметрично относительно оси Oy. Часть графика для $x < 0$ будет соответствовать функции $y = x^2 - 2x$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2|x|$ симметричен относительно оси Oy и состоит из части параболы $y=x^2+2x$ для $x \ge 0$ и части параболы $y=x^2-2x$ для $x < 0$.

в) $y = 2 - x|x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = 2 - x \cdot x = 2 - x^2$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = 2 - x \cdot (-x) = 2 + x^2$.

Таким образом, мы получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} 2 - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2 + x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции будет состоять из двух частей:
- При $x \ge 0$ график совпадает с графиком параболы $y = 2 - x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз. Мы берем ее правую ветвь.
- При $x < 0$ график совпадает с графиком параболы $y = 2 + x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вверх. Мы берем ее левую ветвь.
Обе части графика соединяются в общей точке $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 - x|x|$ состоит из правой ветви параболы $y=2-x^2$ при $x \ge 0$ и левой ветви параболы $y=2+x^2$ при $x < 0$.

г) $y = x|x - 2|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-2$. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак, это $x=2$.
1. Если $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|x - 2| = x - 2$. Функция принимает вид $y = x(x - 2) = x^2 - 2x$.
2. Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Функция принимает вид $y = x(2 - x) = -x^2 + 2x$.

Таким образом, мы получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

График функции состоит из двух частей:
- При $x < 2$ график совпадает с графиком параболы $y = -x^2 + 2x$. Ее ветви направлены вниз. Вершина параболы: $x_v = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y_v = -(1)^2 + 2(1) = 1$. Вершина $(1, 1)$ принадлежит этому промежутку.
- При $x \ge 2$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$. Ее ветви направлены вверх. Вершина параболы: $x_v = -\frac{-2}{2(1)} = 1$, $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина $(1, -1)$ не принадлежит этому промежутку.
Графики двух парабол соединяются в точке $x=2$. Найдем значение $y$ в этой точке: $y = 2|2-2| = 0$. Точка соединения - $(2,0)$.

Ответ: График функции $y = x|x - 2|$ состоит из части параболы $y=-x^2+2x$ (с вершиной в точке $(1, 1)$) при $x < 2$ и части параболы $y=x^2-2x$ при $x \ge 2$, которые соединяются в точке $(2,0)$.